Discusión:Axiomas de Peano

Los conoci​dos como axiomas de Peano, parten del 0

1. el 0 es un número
2. El sucesor inmediato de un número también es un número
3. 0 no es el sucesor inmediato de ningún número
4. Dos números no tienen el mismo sucesor inmediato
5. Toda propiedad perteneciente a 0 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números (inducción matemática)--Solicito revisión , o estoy equivocado?--Joseaperez 21:23 7 may, 2004 (CEST)

Segun el verdadero tratado indica que el 0 es el primer número natural considerado, por lo tanto cualquier otra cosa es simplemente un convencionalismo. --Rehernan (discusión) 05:46 16 may 2013 (UTC)

Todo depende si considerás al cero un número natural o no. En en.wiki evidentemente es así, aquí no sé si hay una convención al respecto. Dado que los axiomas de Peano se refieren a los números naturales, lo anterior no está expresado en forma correcta. Moriel 23:06 7 may, 2004 (CEST)

Por convenio no se considera al cero número natural, sin embargo nosotros tenemos una disparida en número natural y cero. Lo anterior no está extraído de la wiki en:, si no de la Aritmética de Peter Atkins, en la que históricamente Peano usó el cero para redactar sus axiomas (en latín).Pienso que el artículo está bien, pero no refleja el original de Peano. Joseaperez 23:11 7 may, 2004 (CEST)

A lo que me refiero con mal expresado es que tenés que aclarar en qué conjunto numérico estás en cada axioma. Ej. no podés aplicar inducción sobre por ejemplo un conjunto acotado de reales, ¿se entiende? Moriel 23:17 7 may, 2004 (CEST)

Si entendido. El problema es que Peano dejó sin aclarar sus términos "sucesor inmediato", "número" (por supuesto no usó el concepto conjunto, que posteriormente arregló Fiecrich L.Frege), tan sólo era una aclaración de rigor histórico, que visitada la wiki en: , veo que recoge muy bien, asi mismo en número natural--Joseaperez 23:25 7 may, 2004 (CEST)

Aclarado, sobre el tema de rigor histórico la verdad es que no lo sé. Sin embargo, lo que fuera que dijo Peano debe ser congruente con las matemáticas modernas. Ej. en la época de Euclides no existía el término algoritmo pero en la actualidad su fórmula se conoce como algoritmo de Euclides. Moriel 23:30 7 may, 2004 (CEST)

Creo que puedo aportar algo de luz. Al parecer, Peano publicó su axiomática en dos momentos distintos. En la primera consideraba que el 0 no es un número natural, es decir, redactaba la axiomática tal y como está expuesta ahora en el artículo. Con posterioridad reformuló la axiomática para dar cabida al cero.

La discusión sobre si el cero es o no un número natural es tan apasionada como esteril. No significa nada, pues siempre podemos definir dos conjuntos, uno con el cero y otro sin él. Tal y como me los definieron a mí, el cero no es un número natural, y al conjunto de los números naturales unión el {0} se le denomina conjunto de enteros positivos. Como digo, esto no es más que una opción dentro de los dos convencionalismos posibles. Tanto hubiera dado denominar naturales al conjunto que tienen al cero y enteros positivos al que no lo tiene. En el fondo es mera cuestión de denominación, y como no hay consenso, me parece que tomar una u otra opción es igual de válido como de desacertado. Creo que la única posibilidad válida es tomar una opción y señalar --como ya se hace en el artículo-- que no hay consenso

Claramente no hay consenso, pero si uso. Actualmente, especialmente por la influencia de la combinatoria (0 es el cardinal de un conjunto finito famoso) y de la informática, la tendencia es incluir al 0 entre los Naturales. Cuando se desea "pegar" los axiomas de Peano a la teoría de conjuntos, lo normal es definir 0 como el conjunto vacío, el sucesor de un conjunto x como la (re)unión del conjunto x con el conjunto {x}. Ver, por ejemplo, "Naive Set Theory" de Paul Halmos.

La definición de adición (y de la multiplicación) establecen propiedades que deseamos que esas operaciones tengan, sin embargo un deseo no es una prueba de existencia. Lo cual debería mencionarse.

Desde el ara del cero

• La idea del cero es natural. Imaginarse a un recolector de frutos que, en el área geográfica de su tarea, ya no hay nada que coger; se le mueren sus hijos y no que da nada. Otra cosa es la formalización, la simbolización. Pero Babilonia se acerca. los mayas sí tuvieron símbolo para el cero y los incas también en su quipo. Y por circunstancias sociales, tienes 10 mil pesos y los pierdes en la carrera de caballos. Tantos terremotos, pérdidas todo era desastre, nada de nada, sólo reinaba el reverendo cero.Además alguien (parece Dedekind) dijo ∅:= 0, card(∅)= 1; card(card(∅)) = 2, así van surgiendo los naturales de la nada, pero como respuesta a administrar y apreciar sus precarios bienes del hombre del mesolítico.--190.118.16.40 (discusión) 03:59 16 may 2014 (UTC)

Duda

El quinto axioma de Peano ¿está bien parentizado? Según entiendo, en descripciones más informales del axioma, la conjunción debería ser el antecedente de que todo x cumple cierta propiedad. En el artículo creo que sólo dice que si es verdad que un elemento n y su siguiente cumplen tal propiedad entonces todo x cumple tal propiedad. Hace falta incluir en el paréntesis del antecedente que el primer elemento (ya sea 0 o 1) debe cumplir tal propiedad. --Ocelote wiki (discusión) 01:22 1 abr 2015 (UTC)

Opino como tú que NO está bien parentizado, voy a corregirlo a ver si estamos de acuerdo, --Davius (discusión) 01:43 1 abr 2015 (UTC)

La definicion del axioma de inducción

Como tienen puesta la definicino de la Suma es redundante:

La definicion del axioma de inducción que tienen puesta es:

1) n + 1 = n'
2) n+m'= (n+m)'

La segunda afirmación es redundante ya que:

n+m' (Usando regla 1)

= n+(m+1) (Ajustando paréntesis)

= (n+m) + 1 (Usando regla 1)

= (n+m)'

Usando solamente la regla 1 he llegado a la regla 2, por lo cuál no hace falta definirla

La discusión acerca de si es el 0 o el 1 se acaba fácilmente acudiendo al original: https://archive.org/stream/arithmeticespri00peangoog#page/n22/mode/2up (Spoiler, empiezan en 1, no en 0) --Dullyboy (discusión) 12:47 15 may 2018 (UTC)

Ligarlo

con Runa Simi [[1]], hay un artículo sobre tal sistema axiomático.--2800:200:E240:3E8E:E0D4:B65D:7CD3:F508 (discusión) 17:52 4 feb 2019 (UTC)