Dirección principal

En física e ingeniería, una dirección principal se refiere a una recta de puntos formada por vectores propios de alguna magnitud física de tipo tensorial. Los dos ejemplos más notorios son las direcciones principales de inercia, usualmente llamadas ejes principales de inercia y las direcciones principales de tensión y deformación de un sólido deformable.

Este artículo resume las propiedades matemáticas de las direcciones principales y el significado físico de las mismas en los diferentes contextos.

Definición matemática

Dada una magnitud física de tipo tensorial T se plantea el problema matemático de buscar los vectores no nulos v que cumplan la ecuación:

$\mathbf {T} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,\qquad \qquad \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},\mathbf {T} \in {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}),\lambda \in \mathbb {R}$

Dicho problema constituye un problema matemático de vectores propios, donde los autovalores (o valores principales) son valores del parámetro λ para los que existe solución y cada una de las rectas generadas por un vector v se llaman dirección principal. El significado físico tanto de los valores y direcciones principales varía según la magnitud tensorial considerada. En los siguientes apartados se explica el significado e importancia de valores y direcciones principales para algunas magnitudes tensoriales importantes.

Ejes principales de inercia

Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica.

Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación.

El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:

$\mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}=\lambda {\boldsymbol {\omega }}$

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que solo tienen simetría axial, peonzas simétricas.

Direcciones principales de tensión y deformación

El estado de tensión-deformación de sólido deformable viene caracterizado por dos campos tensoriales asociados a la tensión y deformación del mismo (que a su vez están relacionados por la llamada ecuación constitutiva del material). Si examinamos un punto cualquiera del sólido y tomamos una base ortonormal, tenemos que el estado de tensión-deformación viene caracterizado por dos matrices simétricas asociadas al tensor tensión y al tensor deformación. Puesto que estas matrices son simétricas, al igual que sucede con el tensor de inercia admiten vectores propios.

Tensiones principales

Es decir, que existen vectores unitarios tales que la tensión en un plano perpendicular a los mismos en el punto de estudio cumplen que:

$\mathbf {t} =\mathbf {T} (\mathbf {n} )=\sigma \mathbf {n} ,\qquad \left[\Rightarrow t_{i}=\sum _{j=1}^{m}T_{ij}n_{j}=\sigma n_{i}\right]$

Donde σ es una magnitud escalar con unidades de tensión, llamada tensión principal. Dado un punto de un sólido deformable siempre existe al menos una tensión principal y como máximo tres valores diferentes. Y nuevamente dos direcciones principales de tensión asociadas a valores diferentes de la tensión principal son perpendiculares.

Físicamente las direcciones principales de tensión son perpendiculares a planos tales que en el punto considerado solo existe una tensión normal al plano de valor σ pero no existen esfuerzos de cizalla ni tensiones tangenciales τ.

Deformaciones principales

Una deformación físicamente admisible de un sólido deformable viene caracterizada por un difeomorfismo T_D cuyo jacobiano DT_D(x,y,z) es positivo en todo instante y para todos los puntos del cuerpo. A partir de esta deformación admisible podemos construir el campo vectorial de desplazamientos y a partir de sus derivadas primeras construimos el llamado tensor deformación. Puede demostrarse que fijado un punto de un sólido deformable, toda deformación físicamente admisible puede aproximarse localmente por tres alargamientos (o acortamientos) ε_i según direcciones perpendiculares, el valor de estos alargamientos ε_i puede determinarse resolviendo para cada punto la siguiente ecuación:

$\mathbf {D} \cdot \mathbf {n_{i}} =\varepsilon _{i}\mathbf {n_{i}}$

Las tres direcciones según las cuales se producirían estos alargamientos son precisamente las rectas que pasan por el punto considerado y son paralelas a cada uno de los vectores n_i. Si para una determinada dirección principal ε_i > 0 entonces en esa dirección tenemos alargamiento, mientras que ε_i < 0 corresponde a direcciones principales donde existe acortamiento.

Referencias

Landau & Lifschitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991 (pp. 119-120) ISBN 84-291-4081-6.

Datos: Q8560263