Esquema axiomático de reemplazo
En teoría de conjuntos, el esquema axiomático de reemplazo o axioma de reemplazo es un esquema axiomático —una cierta colección de axiomas— que postula que la imagen de un conjunto por una función definida a través de una fórmula es también un conjunto.
Enunciado
[editar]El axioma de reemplazo afirma que existe el conjunto imagen de una «función» definida sobre otro conjunto dado. La función en cuestión está representada por una cierta fórmula arbitraria φ, debido a la incapacidad del lenguaje formal de cuantificar sobre las «relaciones» entre conjuntos:
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Escrito en palabras: «si φ representa una función, entonces para cada conjunto A existe su conjunto imagen B». Los predicados «representa una función» y «su conjunto imagen» significan, más concretamente, «para cada x, es cierta para un único par ordenado x, y» y «el conjunto de los elementos b que cumplen φ(a, b) para algún a en A». La fórmula φ puede tener parámetros, es decir, puede tener más variables libres que hagan referencia a otros conjuntos no especificados, como por ejemplo:
- φ(x, y) ≡ y = x ∪ a
Independencia
[editar]El axioma de reemplazo (AR) no puede demostrarse a partir del resto de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), ya que puede construirse un modelo en el que el resto de axiomas sean ciertos, junto con la negación de AR.
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- Cohen, Paul J. (1966). «II.1. Axioms». Set theory and the continuum hypothesis (en inglés). W.A. Benjamin. OCLC 291078.
- Devlin, Keith (1993). «2.3. The Zermelo-Fraenkel axioms.». The joy of sets (2ª edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94094-4.
- Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: an introduction to independence proofs (en inglés). Elsevier Science. p. 147. ISBN 0-444-86839-9. Discute la independencia del axioma de reemplazo.
- Roitman, Judith (1990). «2.9. Replacement». Introduction to modern set theory (en inglés). Wiley. ISBN 0-471-63519-7.