Método de aproximaciones sucesivas de Picard

El método de aproximaciones sucesivas de Picard (por Charles Émile Picard, matemático francés que lo desarrolló) es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación diferencial.

Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial $y'=f(x,y)$ y condición de contorno $y|_{x=x_{0}}=y_{0}$ donde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un dominio $D:{|x-x_{0}|<a,|y-y_{o}|<b}$ es posible construir una solución de forma iterativa según la expresión

$y_{n}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{n-1}(t))dt$

Donde $y_{0}$ se puede elegir arbitrariamente. Lo habitual es elegir $y_{0}=x_{0}$.

La convergencia de esta serie de funciones es demostrable en el intervalo $x_{0}-h<x<x_{0}+h$ donde $h=\min \left(a,{\frac {b}{M}}\right)$ con $M=\max _{(x,y)\in D}|f(x,y)|$.

El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad

$|y(x)-y_{n}(x)|\leq {\frac {MN^{n-1}}{n!}}h^{n}$

donde $N=\max _{(x,y)\in {}D}\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|$. Con ello es posible programar el algoritmo para que itere hasta una resolución dada.

Ejemplo

Consideramos el problema de Cauchy

${\begin{cases}y'=2x(1-y),\\y(0)=2.\end{cases}}$

En este caso $f(x,y)=2x(1-y)$. Ahora se construirá una solución de forma iterativa según la expresión dada anteriormente.

Definimos $y_{0}(t)\equiv 2$ y las iteraciones sucesivas son:

$y_{1}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{0}(t))\ dt=2+\int _{0}^{x}2t(1-2)\ dt=2+\int _{0}^{x}-2t=2-x^{2}$,

$y_{2}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{1}(t))\ dt=2+\int _{0}^{x}2t(1-(2-t^{2}))\ dt=2-x^{2}+{\frac {1}{2}}x^{4}$,

$y_{3}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{2}(t))\ dt=...=2-x^{2}+{\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{6}$,

y, de forma general, podemos expresar $y_{n}(x)$ de la siguiente forma:

$y_{n}(x)=1+{\bigg (}1+{\frac {(-x^{2})}{1!}}+{\frac {(-x^{2})^{2}}{2!}}+{\frac {(-x^{2})^{3}}{3!}}+{\frac {(-x^{2})^{4}}{4!}}+{\frac {(-x^{2})^{5}}{5!}}+...+{\frac {(-x^{2})^{n}}{n!}}{\bigg )}$.

Se puede observar que las aproximaciones son las sumas parciales del desarrollo en serie de potencias de $1+e^{-x^{2}}$, que es la solución al problema de Cauchy anterior.

Referencias

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. M.L.Krasnov, A.I.Kiseliov, G.I.Makárenko. Editorial URSS. ISBN 5-354-01099-3

• Datos: Q6035912