Onda mecánica

Una onda mecánica es una perturbación tensional que se propaga a lo largo de un medio material para propagarse. El sonido es el ejemplo más conocido de onda mecánica, que en los fluidos se propaga como onda longitudinal de presión. Los terremotos, por otra parte, se modelizan como ondas elásticas que se propagan por el terreno.

Ondas sonoras

Una onda sonora es un caso de particular de elástica, concretamente una onda elástica longitudinal. Los fluidos son medios continuos que se caracterizan por no tener rigidez y por tanto no pueden transmitir ondas elásticas transversales sólo longitudinales de presión.

Ondas elásticas

En un medio elástico no sometido a fuerzas volumétricas la ecuación de movimiento de una onda elástica que relaciona la velocidad de propagación con las tensiones existentes en el medio elástico vienen dadas, usando el convenio de sumación de Einstein, por:

(1)${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}=\rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)$

Donde $\rho \,$ es la densidad y el término entre paréntesis del segundo término coincide con la aceleración o derivada segunda del desplazamiento. Reescribiendo la ecuación anterior en términos de los desplazamientos producidos por la onda elástica, mediante las ecuaciones de Lamé-Hooke y las relaciones del tensor deformación con el vector desplazamiento, tenemos:

(2a)${\frac {E}{2(1+\nu )}}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{k}^{2}}}+{\frac {E}{2(1+\nu )(1-2\nu )}}{\frac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{k}\partial x_{i}}}=\rho {\ddot {u}}_{i}$

Que escrita en la forma vectorial convencional resulta:

(2b)${\frac {E}{2(1+\nu )}}\Delta \mathbf {u} +{\frac {E}{2(1+\nu )(1-2\nu )}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} )=\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$

Ondas planas

En general una onda elástica puede ser una combinación de ondas longitudinales y de ondas transversales. Una manera simple de demostrar esto considerar la propagación de ondas planas en las que el vector de desplazamientos provocados por el paso de la onda tiene la forma $\mathbf {u} =\mathbf {u} (x,t)$. En este caso la ecuación (2b) se reduce para una onda plana a:

${\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{v_{L}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}},\qquad {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{v_{T}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}},\qquad {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{v_{T}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}$

En las ecuaciones anteriores la componente X es una onda longitudinal que se propaga con velocidad $v_{L}$ mientras que la componente en las otras dos direcciones es transversal y se se propaga con velocidad $v_{T}$. Donde la velocidad de la onda longitudinal y de la onda transversal vienen dadas por:

$v_{L}={\sqrt {\frac {\lambda +2\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{\rho (1+\nu )(1-2\nu )}}},\qquad v_{T}={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2\rho (1+\nu )}}}$

Siendo:

$E,\nu \,$, el módulo de Young y el coeficiente de Poisson, respetivamente.

Ondas P y S

Una onda elástica que responde a la ecuación (2b) puede descomponerse, mediante la descomposición de Helmholtz para campos vectoriales, en una componente longitudinal a lo largo de la dirección de propagación de la propagación y una onda transversal a la misma. Estas dos componentes se llaman usualmente componente P (onda P[rimarina]) y componente S (onda S[ecundaria]).

Para ver esto se define los potenciales de Helmholtz del campo de desplazamiento:

$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{L}+\mathbf {u} _{T},\qquad {\begin{cases}\mathbf {u} _{L}={\boldsymbol {\nabla }}\phi \\\mathbf {u} _{T}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\psi }}\end{cases}}$

Véase también

• Ondas sísmicas
• Sonido