Diferencia entre revisiones de «Aritmética»

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La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales. Proviene de ἀριθμητικός, término de origen griego; arithmos αριθμός que quieren decir número y techne habilidad.

Historia

En la prehistoria, la aritmética se limita al uso de números enteros, encontrados inscritos en objetos que indican una clara concepción de la suma y resta; el más conocido es el hueso Ishango de África central, que se data entre 18000 y 20000 a. C.

Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental en 1800 a. C., aunque los historiadores sólo pueden especular sobre los métodos utilizados para generar los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece a ser una lista de Pitágoras triples, pero sin mostrar cómo se haya generado la lista. Del mismo modo, el egipcio Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una copia de un antiguo texto de ca. 1850 a. C.) muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones.

Nicomachus de Gerasa (ca. 60 - 120 a. C.) resume la filosofía de Pitágoras enfocada a los números, y sus relaciones, en su Introducción a la Aritmética. En esa época, las operaciones aritméticas básicas eran muy complicadas, hasta que comenzó a utilizarse el método conocido como "Método de los indios" (en latín "Modus Indorum") que se convirtió en la aritmética que hoy conocemos. La aritmética india era mucho más simple que la aritmética griega, debido a la simplicidad del sistema numérico indio que, además poseía el cero y una notación con valor numérico posicional. En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este método con admiración, indicando no obstante que el método indio iba más allá de esa descripción. Los árabes aprendieron ese nuevo método y lo llamaron hesab. Fibonacci (también conocido como Leonardo de Pisa) presenta el "Método de los indios" en Europa en 1202; en su tratado Liber Abaci, Fibonacci dice que, comparado con este nuevo método, todos los demás habían sido erróneos. En la Edad Media, la aritmética es una de las siete artes liberales enseñada en las universidades.

Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental, su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el contrario, el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un tratado para la elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento de álgebra en el mundo medieval islámico y en el renacimiento europeo fue fruto de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal posicional.

Operaciones básicas

La Aritmética tiene siete operaciones básicas que son:

A la consideración conjunta de todas estas operaciones se le conoce como cálculo aritmético.

Véase también

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Aritmética.
Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Aritmética.
Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre aritmética.
Operaciones Aritméticas

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 La '''aritmética''' es la más antigua y elemental rama de la [[matemática]], utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas operaciones con los [[número]]s y sus propiedades elementales. Proviene de ἀριθμητικός, término de origen griego; ''arithmos'' αριθμός que quieren decir número y ''techne'' habilidad.
+== Historia ==
+En la [[prehistoria]], la aritmética se limita al uso de números enteros, encontrados inscritos en objetos que indican una clara concepción de la suma y resta; el más conocido es el hueso ''Ishango'' de África central, que se data entre 18000 y 20000&nbsp;a.&nbsp;C.
+Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental en 1800&nbsp;a.&nbsp;C., aunque los historiadores sólo pueden especular sobre los métodos utilizados para generar los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece a ser una lista de Pitágoras triples, pero sin mostrar cómo se haya generado la lista. Del mismo modo, el egipcio [[Papiro de Ahmes]] (que data de ca. 1650&nbsp;a.&nbsp;C., aunque es una copia de un antiguo texto de ca. 1850&nbsp;a.&nbsp;C.) muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones.
-== El número ==
-Desde hace muchos años, se viene utilizando los números para contar los elementos de grupos de objetos y para ordenarlos.
+Nicomachus de Gerasa (ca. 60 - 120&nbsp;a.&nbsp;C.) resume la filosofía de Pitágoras enfocada a los números, y sus relaciones, en su ''Introducción a la Aritmética''. En esa época, las operaciones aritméticas básicas eran muy complicadas, hasta que comenzó a utilizarse el método conocido como "Método de los indios" (en latín "Modus Indorum") que se convirtió en la aritmética que hoy conocemos. La aritmética india era mucho más simple que la aritmética griega, debido a la simplicidad del sistema numérico indio que, además poseía el cero y una notación con valor numérico posicional. En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este método con admiración, indicando no obstante que el método indio iba más allá de esa descripción. Los árabes aprendieron ese nuevo método y lo llamaron ''hesab''. [[Fibonacci]] (también conocido como Leonardo de Pisa) presenta el "Método de los indios" en Europa en 1202; en su tratado ''Liber Abaci'', Fibonacci dice que, comparado con este nuevo método, todos los demás habían sido erróneos. En la [[Edad Media]], la aritmética es una de las siete artes liberales enseñada en las universidades.
-También se suele utilizar los números para medir diferentes magnitudes, como la magnitud de una cuerda, el área de una hoja de papel o el volumen de un recipiente.
+Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental, su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el contrario, el antiguo matemático [[Arquímedes]] dedicó todo un tratado para la elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento de álgebra en el mundo medieval islámico y en el renacimiento europeo fue fruto de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal posicional.
-Así mismo sabemos representar números grandes de forma sencilla, y también podemos realizar con ellos operaciones como la [[suma]], la [[resta]], la [[multiplicación]] y la [[división]], que nos permiten resolver fácilmente cierto tipo de problemas que en la antiguedad eran muy complicados.
+== Operaciones básicas ==
-Realmente sería bastante difícil vivir sin números en la actualidad.
+La Aritmética tiene siete [[operación|operaciones]] básicas que son:
+*[[Suma]]
+*[[Resta]]
+*[[Multiplicación]]
+*[[División (matemáticas)|División]]
+*[[Potenciación]]
+*[[Radicación]]
+*[[Logaritmación]]
+A la consideración conjunta de todas estas operaciones se le conoce como '''cálculo aritmético'''.
-Los números son tan importantes que la complejidad de una civilización viene, en cierto modo, reflejada en la complejidad de los números.
-Los babilonios, por ejemplo, utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día, los físicos utilizan un concepto de número a un nivel mucho más elevado de abstracción para temas avanzados.
-     El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.
-Esta frase, sin duda exagerada, del filósofo pitagórico Filolao, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba al número en la Matemática clásica.
-Y esta forma de pensar ha perdurado a través de los siglos, como queda de manifiesto en la afirmación de Honoré de Balzac novelista francés del siglo XIX, en referencia a los números:
-     Sin los números, el edificio de nuestra civilización caería en pedazos.
-== La facultad de contar ==
-El concepto de número pueden tenerlo, de forma rudimentaria, diferentes animales tales como los pájaros y ciertas avispas, que colocan cinco o diez orugas según su descendiente sea macho o hembra. Sin embargo, la facultad de contar es un atributo exclusivamente humano que no debe confundirse con el sentido del número.
-El ejercicio de contar es tan antiguo como el hombre mismo. Pero hasta llegar a nuestra forma actual de contar, ha habido un largo camino que la humanidad ha logrado recorrer en miles de años.
-Posiblemente, en la edad de las cavernas los hombres no conocían los números ni los sistemas de numeración. Sin embargo, eran capaces de contar; un pastor primitivo podía registrar el número de caballos que tenía o el número de animales que había cazado, si tenía la precaución de, por cada caballo o cada animal que cazaba, guardar en una bolsa una piedra, hacer una pequeña incisión en un árbol o una raya sobre una roca (de lo que se han encontrado vestigios en las cavernas prehistóricas). Cada piedra, cada incisión o cada raya representaba un caballo o una pieza cazada.
-A fuerza de repetir esta operación muchas veces, el hombre primitivo llegó a comprender que la bolsa con piedras, el árbol marcado o las rayas de la roca representaban una cualidad del colectivo: el número de animales u objetos que lo componían. Con otras palabras: desde sus orígenes, el hombre advirtió que una bolsa con piedras podía representar un rebaño de ovejas, una serie de puntas de flecha o un montón de pieles de oso. Advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que los componen. Esa cualidad se denomina '''número'''.
-Al contar, no sólo descubrieron relaciones entre los números (dos y cuatro son seis, por ejemplo), sino que fueron estableciendo gradualmente ciertas leyes generales. De este modo, los números aparecen no como entidades separadas e independientes, sino relacionados unos con otros. Y éste es el objetivo fundamental de la Aritmética.
-Después empezaron a darse cuenta de que era conveniente utilizar algún símbolo que sirviera para indicar que diferentes grupos de cosas tenían elementos emparejables, como los dedos de una mano, los dedos de la otra, los dedos del pie derecho, los dedos del pie izquierdo o los pétalos de cierta flor. Así, se había inventado el número 5.
-Parece ser, sin embargo, que la introducción de los símbolos numéricos se produjo al mismo tiempo, que la escritura, aunque el empleo de los signos de las operaciones y de una designación literal para la incógnita data de mucho después.
-== Sistemas de numeración ==
-Es indudable la importancia que tuvieron las manos en el desarrolo histórico del concepto de número ya que nuestro sistema de numeración es de base diez; incluso, en el siglo XVI se publicaron manuales para calcular operaciones con los dedos, reglas que aún hoy persisten en algunos lugares.
-Realmente, aunque el hombre primitivo ya poseía la idea del número que llamamos natural (1,2,3,4,5,...), hasta la [[Edad de Bronce]] no aparecieron sistemas de numeración potentes que fueran capaces de manejar números grandes y realizar, de una forma rápida y eficaz, operaciones entre ellos.
-De las cuatro grandes civilizaciones del mundo occidental antiguo, Babilonia, Egipto, Grecia y Roma, únicamente dos de ellas mostraron tener una importante creatividad matemática: Babilonia y Grecia.
-Los babilonios ya tenían desarrollado un sistema de numeración perfectamente maduro hacia el siglo XXII a. de C.
-[[Archivo:1.bmp]]
-Gracias a este sistema de numeración, ya eran capaces de realizar con gran habilidad operaciones aritméticas muy complicadas.
-De la misma forma que nosotros usamos el número diez como base de nuestro sistema, con diez símbolos distintos para los números del 0 al 9, ellos usaban el número sesenta, con sesenta símbolos para los números del 0 al 59. El valor de un símbolo dependía de la posición del símbolo dentro del número (de la misma forma que, en nuestro sistema, el 5 de 54 significa decenas, pero el 5 de 65 significa unidades).
-Así como para nosotros
-.565 es 7 x 10^(3) + 5 x 10^(2) + 6 x 10 + 5,
-para los babilonios
-.565 era 2 x 60^(2) + 6 x 60 + 5, y así lo representaban, aunque naturalmente con sus símbolos propios.
-Sin embargo, en este tipo de representación no utilizaban el cero sino un espacio en blanco que podía inducir a error muy fácilmente, y que fue corregido bastante más tarde, con la introducción de un símbolo (equivalente a nuestro cero) que sustituyó al espacio en blanco.
-Aun así, en nuestra cultura ha perdurado un recuerdo del sistema de numeración que utilizaban los babilonios en la manera que tenemos de medir los ángulos (un grado tiene 60 minutos, y un minuto 60 segundos), y en la forma de medir el tiempo (una hora tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos).
-Poco a poco se fueron logrando construir sistemas más y más eficaces para poder contar los grupos de cosas que tienen multitud de elementos.
-Los números y los símbolos que utilizamos hoy en día y, en general, nuestro método de formar los números, fueron traídos de la India a Europa por los árabes en el siglo X.
-== Los distintos tipos de números ==
-A lo largo de la historia, los matemáticos han intentado solucionar diferentes problemas que, con los números que tenían, no admitían solución, por lo que se han visto obligados a inventar nuevos números para poder resolver esos nuevos problemas.
-== El número natural ==
-Contamos los días que faltan para un acontecimiento, los libros que tenemos colocados en una estantería, los alumnos que asisten a una clase o los pétalos de una flor que hemos encontrado.
-El número natural es aquel que nos permite contar todas estas cantidades:
-,2,3, ...,35,36, ...,204,205, ...
-Además, también nos sirve para ordenar (numerar); decimos que una persona es la
-.^(a)
-de la lista, que un equipo es el 1ero de un campeonato o que nos vamos a comer el 2do trozo de la torta.
-== El número negativo ==
-El número negativo surgió como recurso para solucionar cierto tipo de problemas, tales como:
- {{hallar ''x'' tal que ''x'' + 3 = 2}},
-que aparecen de forma normal en la vida cotidiana.
-La elaboración del número negativo y su asentamiento en la Matemática llevó mucho más tiempo en el mundo occidental que en el oriental, pues hacia el siglo IV a. de C. los chinos ya manipulaban los números positivos con las bolas rojas de sus ábacos, y los negativos, con las bolas negras.
-     Los números positivos, juntos con los negativos, forman los números enteros.
-== El número fraccionario ==
-Medir es relacionar dos magnitudes del mismo tipo. Cuando decimos que el volumen de Mercurio es
- {6 \over 100}
-de la Tierra, estamos midiendo Mercurio tomando como unidad el volumen de la Tierra. Y si decimos que la gravedad en la Luna es de
- {1 \over 6}g,
-estamos tomando como unidad 1 g, que es la gravedad en la Tierra.
-Cuando tenemos el resultado de hacer una medición, puede ser que no sea un número entero. Por eso, para expresar medidas, necesitamos otro tipo de números que admitan '''trozos de la unidad''': los números fraccionarios.
-Los primeros en utilizar los números fraccionarios fueron los egipcios, quienes hacia el año 2000 a. de C. empezaron a utilizar, con bastante acierto, algunos números tales como:
- {1 \over 2}, {2 \over 3}, {6 \over 7}.
-     Los números fraccionarios, junto con los números enteros, forman los números racionales.
-== El número irracional ==
-De forma parecida a lo que ocurría con los números negativos, los matemáticos se encontraron que, aun disponiendo de todos los números naturales, enteros, fraccionarios, positivos y negativos, ninguno de ellos era capaz de solucionar ecuaciones aparentemente sencillas como
- ''x^(2)'' = 2.
-Para resolver problemas como éste fue necesario introducir un nuevo tipo de número.
-Fueron los griegos pitagóricos en el siglo V a. de C., quienes descubrieron este nuevo tipo de número hasta entonces desconocido, el número irracional.
-Hasta ese momento pensaban que la totalidad del universo estaba regida por los números naturales y las fracciones que se podían hacer entre ellos (proporciones), pero se dieron cuenta de que existen partes de segmentos, como la diagonal y el lado de un pentágono regular, o la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitud no es una fracción. Este descubrimiento les hizo pensar que el caos se acercaba a su mundo, y le llamaron ''alogos'' o irracional.
-     Los números racionales, junto con los irracionales, constituyen los números reales.
-== El número complejo ==
-El número complejo fue el que más problemas creó a los matemáticos, ya que su fundamentación moderna definitiva no llegó hasta mediados del siglo XIX.
-Fue en el siglo XVI, al tratar de resolver ecuaciones de segundo grado tales como
- ''x^(2)'' - 2''x'' + 7 = 0
-y otras de grado mayor, cuando empezaron a aparecer expresiones como
- \sqrt{-18},
-que hasta entonces no se sabían interpretar de ninguna forma.
-Sin embargo, aún así algunos empezaron a manipularlas con las mismas reglas que usaban con los números que conocían, esperando que alguna vez se diera respuesta a esta situación. Poco a poco, el número complejo se fue haciendo más y más familiar, hasta que se le dió una representación geométrica bastante clara y terminó resultando una herramienta de gran utilidad para unificar los resultados más importantes del Álgebra.
-Actualmente, los números complejos tienen una gran importancia como aplicaciones en problemas técnicos de gran envergadura.
 == Véase también ==