Intervalo (matemática)

En análisis, se denomina intervalo a todo subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:

si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I.

Notación

Para representar intervalos, usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b] . La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.

Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.

También existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según sus características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).

Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

Notación	Intervalo	Longitud (l)	Descripción
$[a,b]\,$	$a\leq x\leq b$	$b-a\,$	Intervalo cerrado de longitud finita.
$[a,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ [a,b)\!$	$a\leq x<b\!$	$b-a\,$	Intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto).
$]a,b]\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,b]\!$	$a<x\leq b$	$b-a\,$	intervalo abierto en a, cerrado en b.
$]a,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,b)\!$	$a<x<b\!$	$b-a\,$	intervalo abierto.
$]-\infty ,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (-\infty ,b)\!$	$x<b\!$	$\infty$	Intervalo (semi) abierto.
$]-\infty ,b]\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (-\infty ,b]\!$	$x\leq b\!$	$\infty$	Intervalo (semi) cerrado.
$[a,\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ [a,\infty )\!$	$x\geq a\!$	$\infty$	Intervalo (semi) cerrado.
$]a,\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,\infty )\!$	$x>a\!$	$\infty$	Intervalo (semi) abierto.
$]\infty ,+\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (\infty ,+\infty )\!$	$x\in \mathbb {R} \!$	$\infty$	Intervalo a la vez abierto y cerrado.
$\{a\}\!$	$x=a\!$	$0\!$	intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario.
$\{\}=\emptyset \!$	x no existe	Sin longitud	conjunto vacío.

Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio:

Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.

De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:

_

B (c, r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = { x ε R, |x - c| < r }.

Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunto permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.

Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].

Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - c. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ].

Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Generalización

Un entorno o vecindad de centro a y radio δ es un conjunto de puntos cuya distancia a a es menor de δ. O sea:

$E(a;\delta )=\left\{\left.x\in \Re \ \ \right|\ \ |x-a|<\delta \right\}$

En particular si $x\neq a$ se denomina entorno reducido (E`).

$E'(a;\delta )=\left\{\left.x\in \Re \ \ \right|\ \ 0<|x-a|<\delta \right\}$ el cual no es un intervalo pues es un conjunto disconexo

Véase también

• Valor absoluto

Referencias

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.