Raíz cúbica

Representación gráfica de la función: y = ${\sqrt[{3}]{x}}$

En matemáticas, la raíz cúbica de un número $x\,$ (expresada ${\sqrt[{3}]{x}}$ o $x^{1 \over 3}\,$), es el valor numérico tal que, al ser al multiplicado tres veces por sí mismo, da como resultado $x\,$. Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 es 3, ya que $3\times 3\times 3=27$.

En general, un número real posee tres raíces cúbicas, una correspondiente a un número real, y las otras dos a números complejos. Así, las raíces cúbicas de 8 son:

${\sqrt[{3}]{8}}={\begin{cases}\ \ 2\\-1+i{\sqrt {3}}\\-1-i{\sqrt {3}}\end{cases}}$

La operación de averiguar la raíz cúbica de un número es una operación asociativa con la potenciación y distributiva con la multiplicación y división, pero no es asociativa o distributiva con la suma o la resta.

Definición Formal

Las raíces cúbicas de un número $x$ son números $y$ que satisfacen la ecuación

$y^{3}=x\,$

Números reales

Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real. Si se emplea esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo. De esta forma el principio de la raíz cúbica de x es representada igualmente por:

${\sqrt[{3}]{x}}=x^{1 \over 3}$

Si x e y son ambos complejos, entonces se puede decir que posee tres soluciones (si x es no nulo) y así x tiene tres raíces cúbicas: una raíz real y dos complejas, en la forma de par conjugado. Este hecho deja interesantes resultados dentro de las matemáticas.

Por ejemplo, las raíces del número uno son:

${\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}\ \ 1\\-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}$

Estas dos raíces se relacionan con todas las otras raíces cúbicas de otros números. Si un número es raíz cúbica de un número real las raíces cúbicas pueden ser calculadas multiplicando el número por las raíces de la raíz cúbica de uno.

Números Complejos

Para los números complejos, el valor principal de las raíces cúbicas se define como:

$x^{1 \over 3}=\exp \left({\ln {x} \over 3}\right)$

Donde ln(x) es el logaritmo natural. Si se escribe x como

$x=r\exp(i\theta )\,$

Donde r es un número real positivo y $\theta$ cae en el rango:

$-\pi <\theta \leq \pi$,

entonces la raíz cúbica es

${\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({i\theta \over 3}\right)$.

Esto significa que en coordenadas polares al tomar la raíz cúbica de un número complejo se está tomando la raíz cúbica del radio y el ángulo polar se está dividiendo en tres partes de tal forma que define las tres raíces. Con esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número complejo, y por ejemplo ${\sqrt[{3}]{-8}}$ no será -2, sino $1+i{\sqrt {3}}$. En aquellos programas que aceptan resultados imaginarios (tales como Mathematica), el grafo de la raíz cúbica de x en el plano de los números reales dará como resultados valores negativos de la raíz por igual.

La raíz cúbica en una calculadora de mano

Procedente de la siguiente identidad:

${\frac {1}{3}}={\frac {1}{2^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots$,

Existe un método simple para poder calcular la raíz cúbica de un número en una calculadora no-científica, la cual requiere sólo las operaciones aritméticas de multiplicación y raíz cuadrada. No se requiere además la memoria. Se describe a continuación:

• Presiona el botón de raíz cuadrada, dos veces.
• Presiona el botón de multiplicación.
• Presiona el botón de raíz cuadrada dos veces.
• Presiona el botón de multiplicación.
• Presiona el botón de raíz cuadrada cuatro veces.
• Presiona el botón de multiplicación.
• Presiona el botón de raíz cuadrada ocho veces.
• Presiona el botón de multiplicación...

El proceso se continúa hasta que el número que hay en la pantalla permanece sin cambiar en la pantalla, esto es así debido a que tiene que aparecer 1 o un número tal que 0,9999999... (esto significa que se ha llegado al límite de la precisión de la calculadora). En este momento se presiona el botón de raíz cuadrada una vez más y el número que aparece en la pantalla corresponderá la mejor aproximación que la calculadora puede proporcionar de la raíz cúbica del número original. En el método anterior si se reemplaza la primera multiplicación por una división, sin modificar el resto del algoritmo, en lugar de averiguar la raíz cúbica se averigua la raíz quinta.

Cálculo manual de la Raíz cúbica

Al igual que con las raíces cuadradas. existe también una operación que, aunque muy poco utilizada por haber métodos más sencillos para resolverlas, sirve para hallar el resultado de la raíz cúbica de un número dado, la operación es la siguiente:

————————|
  1331  |11
 -1     |——————————————
 ——     |300·1²·3= 900
  0331  | 30·1·3²= 270
  -331  |      3³=  27
  ————  |         ————
   000  |         1197
        |se pasa de 331
        |
        |300·1²·2= 600
        | 30·1·2²= 120
        |      2³=   8
        |         ————
        |          728  
        |se pasa de 331
        |
        |300·1²·1= 300
        | 30·1·1²=  30
        |      1³=   1
        |          ———
        |          331
        |es igual o menor
        |a 331

Explicación de la operación:

1. Se separan los dígitos de 3 en 3 de derecha a izquierda a la derecha de la coma si no tiene decimales y si los tiene además las cifras decimales se separan de 3 en 3 de izquierda a derecha.
2. Se busca un número cuyo cubo sea igual o menor (si es menor siempre la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) a la primera cifra o conjunto de cifras que se encuentran primero (a la izquierda).
3. A la primera cifra o conjunto de cifras se le resta ese número cuyo cubo es igual o menor al primer conjunto de cifras, y se pone ese resultado bajándose al lado el siguiente grupo de tres cifras.
4. Se le restan las cifras que tenemos al resultado de sumar de 300 multiplicado por las últimas cifras que hemos obtenido de la raíz (si solo tenemos una cifra como en el ejemplo solo una) multiplicado por el número adecuado que será la siguiente cifra de la raíz, sumado a 30 multiplicado por las últimas cifras obtenidas de la raíz multiplicado por el cuadrado de la que será la siguiente cifra de la raíz, sumado al cubo de la que será la siguiente cifra de la raíz. Como en el ejemplo hay que aventurar la cifra que es adecuada y si se pasa el resultado del número que nos hace falta hay que cambiar a la cifra adecuada. La cifra adecuada lógicamente es de una cifra siempre.
5. Una vez obtenido el número que es igual o menor (si es menor también la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) se lo restamos.
6. Repetimos estos pasos hasta que se nos acaben los grupos de tres. Si la raíz cúbica no es exacta se puede poner una coma y tres grupos de ceros para seguir haciendo las operaciones y obtener cifras decimales para la raíz, que a partir de que alcancemos la coma habiendo terminado de operar los números enteros también tendremos que añadirle una coma.

Raíces cúbicas de los 20 primeros números enteros positivos por truncamiento

${\sqrt[{3}]{1}}$	$=\,$	1
${\sqrt[{3}]{2}}$	$\approx$	1.2599210498 9487316476 72106
${\sqrt[{3}]{3}}$	$\approx$	1.4422495703 0740838232 16383
${\sqrt[{3}]{4}}$	$\approx$	1.5874010519 6819947475 17056
${\sqrt[{3}]{5}}$	$\approx$	1.7099759466 7669698935 31088
${\sqrt[{3}]{6}}$	$\approx$	1.8171205928 3213965889 12117
${\sqrt[{3}]{7}}$	$\approx$	1.9129311827 7238910119 91168
${\sqrt[{3}]{8}}$	$=\,$	2
${\sqrt[{3}]{9}}$	$\approx$	2.0800838230 5190411453 00568
${\sqrt[{3}]{10}}$	$\approx$	2.1544346900 3188372175 92935
${\sqrt[{3}]{11}}$	$\approx$	2.2239800905 6931552116 53633
${\sqrt[{3}]{12}}$	$\approx$	2.2894284851 0666373561 60844
${\sqrt[{3}]{13}}$	$\approx$	2.3513346877 2075748950 00163
${\sqrt[{3}]{14}}$	$\approx$	2.4101422641 7522998612 83696
${\sqrt[{3}]{15}}$	$\approx$	2.4662120743 3047010149 16113
${\sqrt[{3}]{16}}$	$\approx$	2.5198420997 8974632953 44212
${\sqrt[{3}]{17}}$	$\approx$	2.5712815906 5823535545 31872
${\sqrt[{3}]{18}}$	$\approx$	2.6207413942 0889660714 16612
${\sqrt[{3}]{19}}$	$\approx$	2.6684016487 2194486733 96273
${\sqrt[{3}]{20}}$	$\approx$	2.7144176165 9490657151 80894
${\sqrt[{3}]{27}}$	$=\,$	3

Véase también

• Función raíz
• Método de Newton-Raphson
• Radical jerarquizado
• Raíz cuadrada

Enlaces externos

Resolución de raíces cúbicas mediante el método de Newton Raphson

Domingo Gomez Morin. Métodos aritméticos de orden superior para el cálculo de raíces cúbicas