Función inversa

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ ^–1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ ^–1 lleva 3 de vuelta en a.

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f ^-1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ^-1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Definiciones formales

Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f ^-1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

$f(x)=y\Leftrightarrow {}f^{-1}(y)=x{\text{.}}\,\!$

Destaquemos que f ^-1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

• $f^{-1}\circ f=id_{i}$ y
• $f\circ f^{-1}=id_{j}$.

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

1. $g\circ f=id_{I}$ y
2. $f\circ g=id_{J}$,

entonces:

• Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
• Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
• Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.

Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.

• La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g^–1 y terminar con f^–1,

• La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

$\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: $f^{-1}\circ f=Id_{X}$ y $f\circ f^{-1}=Id_{Y}$.

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable

Continuidad

• f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.

• Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
  

Grafico de la función inversa

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2 ]

• Los graficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

• Las tangentes en M y M' tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.

Derivabilidad

• f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.

• Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos

Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" con dominio los reales no negativos, $x\rightarrow x^{2}$. Más generalmente, la raíz de orden n es la recíproca de $x\rightarrow x^{n}$. También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo.

Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:

Para $f(x)=\cos(x)=y$, $g(y)=f^{-1}(y)=\arccos(y)$, y utilizando $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ se obtiene: $g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{-\sin(x)}}={\frac {1}{-{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$

Para $f(x)=\tan(x)=y$, $g(y)=f^{-1}(y)=\arctan(y)$, y utilizando $\tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)$ se obtiene: $g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}(x)}}={\frac {1}{1+y^{2}}}$

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.