Unidad astronómica

La unidad astronómica (ua) es una unidad de distancia que es aproximadamente igual a la distancia media entre la Tierra y el Sol y cuyo valor, determinado experimentalmente, es alrededor de 149.597.870 km (el valor dado en el Sistema Internacional de Unidades es 1,495 978 70 × 10⁸ km). Aunque es una excelente aproximación, no corresponde con toda precisión a la órbita real de la Tierra. La definición precisa del Sistema Internacional de Unidades es el «radio de una órbita circular newtoniana alrededor del Sol de una partícula con masa infinitesimal con un movimiento medio de 0,017 202 098 95 radianes por día»; de forma equivalente, «es la distancia entre el Sol y una partícula sin masa y libre de perturbaciones, que se mueve en una órbita circular alrededor del Sol con un período orbital de 365,2568983 días» (año gaussiano).

El nombre proviene de los siglos XVI y XVII, cuando aún no se calculaban con precisión las distancias absolutas entre los cuerpos del Sistema Solar, y sólo se conocían las distancias relativas tomando como patrón la distancia media entre la Tierra y el Sol, que fue denominada unidad astronómica. Se llegó a afirmar que el día en que se midiera este valor, «se conocería el tamaño del Universo».

El símbolo de la unidad astronómica según el Sistema Internacional de Unidades es ua, con minúsculas, aunque hasta no hace mucho era «UA».

Historia

Un antecedente directo de la unidad astronómica se puede encontrar directamente en las demostraciones de Nicolás Copérnico para su sistema heliocéntrico en el siglo XVI. En el tomo V de su libro De Revolutionibus Orbium Coelestium (1543) calculó, utilizando trigonometría, las distancias relativas entre los planetas conocidos entonces y el Sol, teniendo como base la distancia entre la Tierra y el Sol. Midiendo los ángulos entre la Tierra, el planeta y el Sol en los momentos en que éstos forman un ángulo recto, es posible obtener la distancia Sol-planeta en unidades astronómicas. Ésta fue una de sus demostraciones para probar que los planetas, incluida la Tierra, giraban alrededor del Sol (heliocentrismo), descartando el modelo de Claudio Ptolomeo que postulaba que la Tierra era el centro alrededor del cual giraban los planetas y el Sol (geocentrismo). Estableció así la primera escala relativa del Sistema Solar utilizando como patrón la distancia entre la Tierra y el Sol.

Comparación de distancias relativas (en ua) medidas por Copérnico y actuales:

Planeta	Copérnico	Actuales
Mercurio	0,386	0,387
Venus	0,719	0,723
Marte	1,520	1,524
Júpiter	5,219	5,203
Saturno	9,174	9,555

Posteriormente Johannes Kepler, basándose en las cuidadosas observaciones de Tycho Brahe, estableció las leyes del movimiento planetario, las cuales se conocen justamente como «Leyes de Kepler». La tercera de estas leyes relaciona la distancia de cada planeta al Sol con el tiempo que tarda en recorrer su órbita (es decir el período orbital) y, como consecuencia, establece una escala relativa mejorada para el Sistema Solar: por ejemplo, basta con medir cuántos años tarda Saturno en orbitar el Sol para saber cuál es la distancia de Saturno al Sol en unidades astronómicas. Kepler estimó con muy buena precisión los tamaños de las órbitas planetarias; por ejemplo, fijó la distancia entre Mercurio y el Sol en 0,387 unidades astronómicas (el valor correcto es 0,389), y la distancia de Saturno al Sol en 9,510 unidades astronómicas (el valor correcto siendo 9,539). Sin embargo, ni Kepler ni ninguno de sus contemporáneos sabían cuánto valía esta unidad astronómica, y por tanto ignoraban completamente la escala real del sistema planetario conocido, que en aquel entonces se extendía hasta Saturno.

Desde los tiempos de Hiparco, un par de siglos antes de Cristo, hasta los de Tycho Brahe, los astrónomos suponían que la unidad astronómica era unas seiscientas veces mayor que el diámetro de la Tierra, lo que equivale a unos siete millones y medio de kilómetros. A falta de alguna medición más o menos precisa, los expertos debían conformarse con intentar adivinar el valor, dando un número que no tenía mayor fundamento que el parecer «adecuadamente» grande pero congruente con que el Sol fuera comparable en tamaño con la Tierra. Kepler sospechó que el valor real debía ser unas tres veces mayor (unos 22 millones de kilómetros), con lo cual, incómodamente, el Sol debía ser quince veces mayor que la Tierra.

Partiendo de las leyes de Kepler, bastaba medir la distancia de un planeta cualquiera al Sol, o a la Tierra, para conocer la unidad astronómica. En 1659 Christian Huygens midió el ángulo que subtiende Marte en el cielo y, atribuyendo un valor al diámetro de este planeta, estimó que la unidad astronómica debía ser 160 millones de kilómetros, es decir siete veces mayor que lo estimado por Kepler, pero de hecho menos del 10% por encima del valor real. Sin embargo esta medición no era aceptada ya que, como el mismo Huygens reconoció, todo dependía del valor que uno atribuyera al tamaño de Marte. Curiosamente, Huygens adivinó con notable exactitud el tamaño de Marte.

Se conocía otro método más fiable, pero que requería mediciones muy difíciles de realizar: el método de la paralaje. Si dos personas situadas en puntos alejados de la Tierra, digamos en París (Francia) y en Cayena (Guayana francesa), observan simultáneamente la posición de un planeta en el cielo en relación a las estrellas de fondo, sus mediciones dan una pequeña diferencia que corresponde al ángulo que subtendería la línea París-Cayena vista desde el planeta. Conociendo este ángulo, y la distancia París-Cayena, se puede deducir el valor de la unidad astronómica. En la práctica existían tres dificultades: primero, no se conocían bien las distancias sobre la Tierra; segundo, la medición del tiempo no era lo suficientemente precisa como para permitir mediciones simultáneas entre puntos muy alejados; y tercero, la medición de la posición aparente del planeta en el cielo debía ser muy precisa. Pasó más de medio siglo antes de que fuera posible medir la paralaje de un planeta: en 1672 Jean Richer viajó a Cayena para medir la posición de Marte en el cielo en el mismo instante en que sus colegas en París hacían lo mismo. Richer y sus colegas estimaron el valor en 140 millones de kilómetros.

Con el tiempo se desarrollaron métodos más precisos y fiables para estimar la unidad astronómica; en particular, el propuesto por el matemático escocés James Gregory y por el astrónomo británico Edmund Halley (el mismo del cometa), se basa en mediciones del tránsito de Venus o Mercurio sobre el disco solar y fue empleado hasta principios del siglo XX. Las mediciones contemporáneas se hacen con técnicas láser o de radar y dan el valor 149 597 870 km, con una precisión de uno o dos kilómetros.

Diferencia entre la Unidad astronómica y la órbita real de la tierra

Newton reformuló la tercera ley de Kepler. Un planeta de masa m, orbitando el sol de masa M, en una elipse con semi-eje mayor a y con un período sideral T, verifica la ecuación

$k^{2}(m+M)T^{2}=4{\pi }^{2}a^{3},\,\!$

El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) usó para sus cálculos de la dinámica del Sistema Solar como unidad de masa la masa solar, como unidad de tiempo el día solar medio y como unidad de distancia el semieje mayor de la órbita de la Tierra. Utilizando estas unidades, la ecuación anterior se escribe como

$k^{2}(1+M)T^{2}=4{\pi }^{2}a^{3},\,\!$

Donde k se conoce como la constante gravitacional gaussiana. Gauss utilizó los valores estimados en su época

$T=365.2563835{\mbox{ dias}},\,\!$

$M=354710{\mbox{ masas terrestres}},\,\!$

Gauss reconoció que el problema con esta definición es que cuando se determinaran con mejor precisión el año sidéreo y la masa del sol, el valor de k cambiaría. En 1939, la Unión Astronómica Internacional (UAI) adoptó el valor de la constante gravitacional gaussiana (y la unidad astronómica de ella derivada) como una definición en astronomía. Sin embargo, con la precisión de las medidas actuales, se sabe que el año sidéreo es 46 segundos más corto que el valor conocido en tiempos de Gauss, y que el semieje mayor de la órbita real de la Tierra es unos 17 km más pequeño que la unidad astronómica.

Ejemplos

• Plutón está a una distancia media de 39,5 ua del Sol.
• Júpiter está a 5,2 ua del Sol.
• El diámetro medio de la supergigante roja Betelgeuse es 2,57 ua.
• La Luna está a 0,0026 ua de la Tierra.

Algunos factores de conversión:

• 1 ua ≈ 1,5 × 10¹¹ m
• 1 ua ≈ 499 segundos luz ≈ 8,32 minutos luz

Enlaces externos

• Conversión de unidad astronómica en otras unidades