Función exponencial

Funciones exponenciales
Gráfica de Funciones exponenciales
Definición	$e^{x},\exp(x)\,$
Tipo	Función real
Dominio	$]-\infty ,+\infty [$
Codominio	$]-\infty ,+\infty [$
Imagen	$]0,+\infty [$
Propiedades	Biyectiva Convexa Estrictamente creciente
Cálculo infinitesimal
Derivada	$e^{x}\,$
Función primitiva	$e^{x}\,$
Función inversa	$\ln(x)\,$
Límites	$\lim _{x\to -\infty }\exp(x)=0\,$ $\lim _{x\to +\infty }\exp(x)=+\infty \,$
Funciones relacionadas	Logaritmo

La función exponencial es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como f(x)=e^x ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

$F(x)=K\cdot a^{x}$

siendo $a,K\in \mathbb {R}$ números reales, $a\geq 0$. Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.

Propiedades

Crecimiento de la función exponencial.

Se llama (función) exponencial de base e la función definida sobre los reales por x →e^x.

• La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
• Relación adición-multiplicación: $e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}$
• $e^{-a}={1 \over e^{a}}$
• $e^{a-b}={e^{a} \over e^{b}}$
• Sus límites en son $\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0,\qquad \lim _{x\to +\infty }e^{x}=\infty$
• Inversa del logaritmo: $y=\exp x\qquad x=\ln y\ (y>0)$
• La tangente en x = 1, T₁, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T₀, pasa por el punto (-1, 0).

• La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la relación:

$e^{i\cdot t}=\cos t+i\cdot {\mbox{sen }}t$.

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, considerada por muchos matemáticos como la fórmula más notable de todas. Más generalmente:

$e^{a+bi}=e^{a}\cdot (\cos b+i{\mbox{sen }}b)$

Véase también

• Número e
• Logaritmo natural
• Exponenciación