Energía de deformación

La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

Energía de deformación reversible e irreversible

Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:

$E_{def}=E_{rev}+E_{irrev}\,$

Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido.

En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

$\Delta W=\Delta U=\Delta F\,$

De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes ε_ij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

$f(\epsilon _{ij})={\frac {\partial F}{\partial V}}=\lambda \left(\sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ii}\right)^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{ij}^{2}$

Y la conexión entre tensiores y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

$\sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \epsilon _{ij}}}\right)_{s}=\sigma _{ij}={\frac {E}{1+\nu }}\left[\epsilon _{ij}+{\frac {\nu \epsilon _{V}\delta _{ij}}{1-2\nu }}\right]\qquad \epsilon _{V}:=\epsilon _{xx}+\epsilon _{yy}+\epsilon _{zz}$

Energía potencial elástica

La energía de deformación E_def o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

${\begin{cases}E_{def}={\cfrac {1}{2}}\int _{V}\sum _{i,j}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}dV\\E_{def}=\int _{V}{\cfrac {\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{yy}^{2}+\sigma _{zz}^{2}-2\nu (\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\sigma _{yy}\sigma _{zz}+\sigma _{zz}\sigma _{xx})}{2E}}+{\cfrac {\tau _{xy}^{2}+\tau _{yz}^{2}+\tau _{zx}^{2}}{2G}}dV\end{cases}}$

Donde:

$\{\sigma _{ij}\}=\{\sigma _{xx},\sigma _{yy},\sigma _{zz},\tau _{xy},\tau _{yz},\tau _{zx}\}\,$, son las componentes del tensor tensión.

$E,G\,$, son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal.

Descomposición de la energía elástica

La energía de deformación se puede descomponer además en una energía de deformación volumétrica o trabajo invertido en comprimir o expandir una determinada porción del sólido y energía de distorsión o trabajo invertido en cambiar la forma del cuerpo (sin alterar el volumen):

$E_{def}=E_{def,V}+E_{def,dist}\,$

Donde cada uno de los sumandos viene dado por:

${\begin{cases}E_{def,V}=\int _{V}{\frac {3}{2}}{\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz})^{2}dV=+\int _{V}{\frac {(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz})^{2}}{2K}}dV\\E_{def,dist}=E_{def}-E_{def,V}=\int _{V}{\frac {1}{6G}}\left[\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-(\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1})\right]dV\end{cases}}$

Donde hemos hecho intervernir el módulo de compresibilidad K, que es la constante elástica que da cuenta de los cambios del volumen de un cuerpo bajo presión uniforme. Y hemos reexpresado la energía de distorsión en términos de las tres tensiones principales.

Energía de deformación elástica en vigas y pilares

Cuando un prisma mecánico como una viga o un pilar se encuentra sometido a un esfuerzo normal, de torsión, de flexión se producen tensiones y deformaciones relacionadas por la ley de Hooke. Existen métodos de cálculo de estructuras, en que al ocurrir una deformación, se efectúa un trabajo (similar a un resorte), por lo que es posible realizar el cálculo de deformaciones, en base al trabajo realizado por la deformación. A este método se le conoce como método energético.

Si se usa un sistema de coordenadas en que el eje baricéntrico de la barra coincide con el eje X y los ejes Y y Z con las direcciones principales de inercia de la sección, la energía de deformación por unicdad de volumen de una barra recta (viga o pilar) sometida a extensión, torsión, flexión y cortante, viene dada por:

$e_{def}=e_{ext}+e_{flex}+e_{tor}+e_{fl-tr}\,$

Donde $e_{ext},e_{flex},e_{tor}\,$ son las energías debidas únicamente a la extensión, la flexión impura y la torsión tomadas aisladamente. El término $e_{fl-tr}\;$ aparece sólo en piezas asimétricas donde el centro de cortante no coincide con el centro de gravedad. Las expresiones de estos términos de la energía de deformación cuando existen simultáneamente flexión y torsión son:

$e_{ext}={\frac {1}{2}}EA\left({\frac {du_{x}}{dx}}\right)^{2}$

$e_{flex}={\frac {1}{2}}\left[EI_{y}\left({\frac {d\theta _{y}}{dx}}\right)^{2}+EI_{z}\left({\frac {d\theta _{z}}{dx}}\right)^{2}+GA\left({\frac {du_{z}}{dx}}+\theta _{y}\right)^{2}+GA\left({\frac {du_{y}}{dx}}-\theta _{z}\right)^{2}\right]$

$e_{tor}={\frac {1}{2}}\left[GJ\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}+{\frac {\kappa }{1-\kappa }}GJ\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}-\varphi \right)^{2}+EI_{\omega }\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}\right]$

$e_{fl-tr}=GA\left[z_{C}\left({\frac {du_{y}}{dx}}-\theta _{z}\right)-y_{C}\left({\frac {du_{z}}{dx}}+\theta _{y}\right)\right]\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}-\varphi \right)$

Donde:

• $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})$ es el vector de desplazamientos de los puntos del eje de la pieza.
  
• $\theta _{x},\theta _{y},\theta _{z};\varphi$ son los giros de los puntos de eje de la pieza, alrededor de los tres ejes y el giro de alabeo.
  
• $A,I_{y},I_{z},J,I_{\omega }\,$ son las características geométricas de la sección: el área transversal, el momento de inercia en Y, el momento de inercia en Z, el momento de torsión y el momento de alabeo, además $\kappa =1-J/(I_{y}+I_{z})\,$ es un parámetro adimensional relacionado co n los anteriores (ver prisma mecánico).
  
• $(y_{C},z_{C})\,$, son las coordenadas del centro de cortante.
  

Como puede verse para piezas con dos planos de simetría el término de acoplamiento flexión-torsión se anula y la energía de deformación es simplemente la suma de las energías de deformación asociadas a la extensión, flexión y torsión. A continuación desarrollamos los casos particulares de esta fórmula substituyendo las derivadas de los desplazamientos en función de los esfuerzos internos.

Energía de deformación bajo esfuerzo axial

Si una barra o prisma mecánico de longitud L, área transversal A y compuesto de un material con módulo de Young E, se encuentra sujeto a una carga axial siendo el esfuerzo normal o axial N y se tienen en cuenta las relaciones entre tensión normal σ = N/A se obtiene:

$E_{def}=\int _{V}e_{ext}\ dxdydz=\int _{V}{\frac {\sigma ^{2}}{2E}}\ dxdydz=\int _{0}^{L}{\frac {N^{2}}{2EA}}\ dx$

Si el elemento tiene un área transversal y una carga axial constantes:

$E_{def}={\frac {N^{2}L}{2AE}}$

Energía de deformación bajo esfuerzo cortante

De forma semejante se obtiene la energía de deformación por esfuerzo cortante:

$E_{def}=\int _{V}{\frac {\tau \gamma }{2}}\,dV=\int _{V}{\frac {\tau ^{2}}{2G}}\,dV$

Energía de deformación bajo flexión pura

Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo normal viene dado por:

$\sigma =-{\frac {M_{z}(x)}{I_{z}}}y$

Tomando el elemento diferencial de volumen como $dV=Adx\,$ y teniendo en cuenta que $I_{z}=\int _{A}y^{2}\,dA$, entonces la energía viene dada por la expresión:

$E_{def}=\iiint _{V}Adx=\int _{L}{\frac {M_{z}^{2}}{2EI_{z}^{2}}}\left(\iint _{A}y^{2}dydz\right)dx=\int _{0}^{L}{\frac {M_{z}^{2}}{2EI_{z}}}\,dx$

Para evaluarla primeramente es necesario calcular el momento flector a lo largo del eje de la pieza. Cuando actúan dos momentos en lugar de uno en direcciones perpendiculares, situación que se llama flexión esvida se tiene análogamente:

$\sigma =-{\frac {M_{z}(x)}{I_{z}}}y+{\frac {M_{y}(x)}{I_{y}}}z$

$E_{def}=\int _{0}^{L}{\frac {M_{z}^{2}}{2EI_{z}}}+{\frac {M_{y}^{2}}{2EI_{y}}}\,dx$