Teoría de la probabilidad

La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de una moneda.

Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos aleación en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.

En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.

Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).

Definición clásica de probabilidad

La probabilidad es la característica de un evento, que existen razones para creer que éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.

$p=P\{S\}={\frac {h}{n}}$

La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

$q=P\{noS\}=1-{\frac {h}{n}}$

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por $\Omega$, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por $\omega _{1},\omega _{2}$, etcétera, son elementos del espacio $\Omega$.

Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática

La definición axiomática de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente probable) se define la probabilidad estimada o empírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando $\Omega$ es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como 

$\mathbb {P} \{S\}\,$,

y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.

La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que $\Omega$ debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.

Véase también: Axiomas de probabilidad

Probabilidad discreta

Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.

Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean Finitos o Infinitos, Numerables o innumerables

EJEMPLO 1: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3

Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da un número de especifico de casos y solo nos pueden dar un número especifico de resultados.

Probabilidad continua

Una variable aleatoria es una función medible

$X:\Omega \to \mathbb {R} \,$

que da un valor numérico a cada suceso en $\Omega$.

Función de densidad

La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.

Véase también

• Distribución de probabilidad
• Estadística
• Probabilidad condicionada

Bibliografía

• Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, México.
• Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2