Análisis de circuitos de corriente alterna

El Análisis de circuitos RLC corriente alterna es una rama de la electrónica que detalla la resolución de las ecuaciones que definen estos circuitos, permitiendo así el análisis de su funcionamiento. A parte de conocimientos de electrónica, son necesarios elementos de análisis matemático como el uso de ecuaciones diferenciales y números complejos así como de las transformadas de Laplace y Fourier. En estos circuitos, las ondas electrómagnéticas suelen aparecer caracterizadas como fasores según su módulo y fase, permitiendo un análisis más sencillo.

Leyes de Kirchhoff

Las Leyes de Kirchoff son:

• Ley nodos: "la suma de las corrientes que entran y salen de un nodo es cero". Si resolvemos un circuito usando la ley de los nodos encontraremos directamente las tensiones entre los nudos del circuito y un nudo de referencia del circuito que elegiremos al azar

• Ley de mallas: "la suma de todas las tensiones alrededor de una malla es cero". Si resolvemos un circuito usando la ley de mallas encontraremos directamente las intensidades que circulan por cada mallad el circuito.

Véase Números complejos Véase condensador, bobina, inductor

Un circuito RLC es un circuito en el que solo hay resistencias, condensadores y bobinas, estos tres elemenos tienen, por ecuaciones características una relación lineal (Sistema lineal) entre tensión e intensidad. Se dice que no hay elementos activos

• Resistencia: $V(t)=i(t)*R;$
• Condensador: $i(t)=C{du(t) \over dt}\;$
• Bobina: $u(t)=L{di(t) \over dt}\;$

De forma que para conocer el funcionamiento de un circuito deberíamos, aplicando las leyes de Kirchoff, resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, para determinar la tensión e intensidad en cada una de las ramas. Como este proceso se hace extremadamente laborioso a partir de que en un circuito halla más de dos bobinas o condensadores (estaríamos frente a ecuaciones diferenciales de más de segundo orden), lo que se hace en la práctica es escribir las ecuaciones del circuito y después simplificarlas a través de la Transformada de Laplace, en la que derivadas e integrales son sumas y restas con números complejos, se le suele llamar dominio complejo, resolver un sistema de ecuaciones lineales complejo y luego aplicarle la Antitransformada de Laplace, y finalmente, devolverlo al dominio del tiempo. A muchos, esto quizá les suene a nuevo, porque en realidad, lo que se hace siempre es aplicar directamente la transformada de Laplace sin saber que la estamos usando, mediante reglas nemotécnicas; después resolver el sistema de ecuaciones y por último interpretar los resultados de tensión o intensidad complejos obteniendo automáticamente la respuesta en el tiempo, es decir, aplicando mentalmente la antitransformada de Laplace sin saber que lo estamos haciendo

La transformada de Laplace de los elementos del circuito RLC, o sea, el equivalente que usamos para resolver los circuitos es:

Véase condensador, bobina

• Resistencia: $Z=R+j*0$ Es decir, no tiene parte imaginaria.

• Condensador:$Z=-{1 \over \omega C}*j\;$ Es decir, no tiene parte real. W es la pulsación del circuito ($\quad \omega =2\pi f\,\!$) con f la frecuencia de la intensidad que circula por el circuito y C la capacidad del condensador

• Bobina: $\quad Z=+\omega L\,\!*j$ Es decir, no tiene parte real. W es la pulsación del circuito ($\quad \omega =2\pi f\,\!$) con f la frecuencia de la intensidad que circula por el circuito y L la inductancia de la bobina

De forma general y para elementos en un circuito con características de condensador y resistencia o de resistencia y bobina al mismo tiempo, sus equivalentes serían:

Impedancia Compleja

Véase artículo reactancia

Nos da la relación entre tensión a ambos lados de un elemento y la intensidad que circula por él en el campo complejo:

$Z=V/I$

Es útil cuando resolvemos un circuito aplicando la ley de mallas de Kirchoff La impedancia puede representarse como la suma de una parte real y una parte imaginaria:

$Z=R+jX$

$\scriptstyle {R}$ es la parte resistiva o real de la impedancia y $\scriptstyle {X}$ es la parte reactiva o reactancia de la impedancia.

Unidades: Ohmio Sistema internacional

Admitancia Compleja

Véase artículo admitancia

Nos da la relación entre la intensidad que circula por un elemento y la tensión a la que está sometido en el campo complejo:

$Y=I/V$

Es útil cuando resolvemos un circuito aplicando la ley de nudos de Kirchoff, la admitancia es el inverso de la impedancia:

$Y=\textstyle {1 \over Z}=y_{c}+jy_{s}$

La conductancia $\scriptstyle {y_{c}}$ es la parte real de la admitancia y la susceptancia $\scriptstyle {y_{s}}$ la parte imaginaria de la admitancia.

Unidades: Siemens (unidad) Sistema internacional

Interpretación en el tiempo de los resultados complejos

Y ahora a continuación se explica cómo mentalmente y sin saberlo aplicamos la antitransformada de Laplace, identificando directamente los resultados de los números complejos con su significado en el tiempo:

Sentido físico de la parte imaginaria j (donde se utiliza esta letra en vez de i para evitar confusiones con la intensidad) de las impedancias calculando, sin utilizar estas, la corriente que circula por un circuito formado por una resistencia, una inductancia y un condensador en serie.

El circuito está alimentado con una tensión sinusoidal y hemos esperado suficientemente para que todos los fenómenos transitorios hayan desaparecido. Tenemos un régimen permanente. Como el sistema es lineal, la corriente del régimen permanente será también sinusoidal y tendrá la misma frecuencia que la de la fuente original. Lo único que no sabemos sobre la corriente es su amplitud y el desfase que puede tener con respecto a la tensión de alimentación. Así, si la tensión de alimentación es $\scriptstyle {V=V_{\circ }\cos(\omega t)}$ la corriente será de la forma $\scriptstyle {I=I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )}$, donde $\scriptstyle {\varphi }$ es el desfase que no conocemos. La ecuación a resolver será:

$V_{\circ }\cos(\omega t)=V_{R}+V_{L}+V_{C}$

donde $\scriptstyle {V_{R}}$, $\scriptstyle {V_{L}}$ y $\scriptstyle {V_{C}}:$ son las tensiones entre las extremidades de la resistencia, la inductancia y el condensador.

$V_{R}\,$ es igual a $RI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )$

La definición de inductancia nos dice que

$V_{L}=L\textstyle {dI \over dt}=L\textstyle {d\left(I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )\right) \over dt}=-\omega LI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )$.

La definición de condensador nos dice que $\scriptstyle {I=C{dV_{C} \over dt}}$. Haciendo la derivada, se puede comprobar que:

$V_{C}=\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )$.

Así, la ecuación que hay que resolver es:

$V_{\circ }\cos(\omega t)=RI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )-\omega LI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )+\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )$

Tenemos que encontrar los valores de $\scriptstyle {I_{\circ }}$ y de $\scriptstyle {\varphi }$ que hagan que esta ecuación sea satisfecha para todos los valores de $\scriptstyle {t}$.

Para encontrarlos, imaginemos que alimentamos otro circuito idéntico con otra fuente de tensión sinusoidal cuya única diferencia es que comienza con un cuarto de periodo de retraso. Es decir, que la tensión será $\scriptstyle {V=V_{\circ }\cos(\omega t-{\pi \over 2})=V_{\circ }\sin(\omega t)}$. De la misma manera, la solución también tendrá el mismo retraso y la corriente será: $\scriptstyle {I=I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi -{\pi \over 2})=I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )}$. La ecuación de este segundo circuito retardado será:

$V_{\circ }\sin(\omega t)=RI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )+\omega LI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )-\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )$

Hay signos que han cambiado porque el coseno retardado se transforma en seno, pero el seno retardado se transforma en $\textstyle {\mathbf {-} }$coseno. Ahora vamos a sumar las dos ecuaciones después de haber multiplicado la segunda por j. La idea es de poder transformar las expresiones de la forma $\scriptstyle {\cos x+j\sin x}$ en $\scriptstyle {e^{jx}}$, utilizando las fórmulas de Euler. El resultado es:

$V_{\circ }e^{j\omega t}=RI_{\circ }e^{j\left(\omega t+\varphi \right)}+j\omega LI_{\circ }e^{j\left(\omega t+\varphi \right)}+\textstyle {1 \over j\omega C}I_{\circ }e^{j\left(\omega t+\varphi \right)}$

Como $\scriptstyle {e^{j\omega t}}$ es diferente de cero, se puede dividir toda la ecuación por ese factor:

$V_{\circ }=RI_{\circ }e^{j\varphi }+j\omega LI_{\circ }e^{j\varphi }+\textstyle {1 \over j\omega C}I_{\circ }e^{j\varphi }$

se deduce:

$I_{\circ }e^{j\varphi }=\textstyle {V_{\circ } \over R+j\omega L+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}$

A la izquierda tenemos las dos cosas que queríamos calcular: la amplitud de la corriente y su desfase. La amplitud será igual al módulo del número complejo de la derecha y el desfase será igual al argumento del número complejo de la derecha.
Y el término de la derecha es el resultado del cálculo habitual utilizando el formalismo de impedancias en el cual de tratan las impedancias de las resistencias, condensadores e inductancias de la misma manera que las resistencias con la ley de Ohm.
Vale la pena de repetir que cuando escribimos:

$I=\textstyle {V_{\circ } \over R+j\omega L+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}$

admitimos que la persona que lee esa fórmula sabe interpretarla y no va a creer que la corriente pueda ser compleja o imaginaria. La misma suposición existe cuando encontramos expresiones como "alimentamos con una tensión $\scriptstyle {Ve^{j\omega t}}$" o "la corriente es compleja".

Como las señales son sinusoidales, los factores entre los valores eficaces, máximos, pico a pico o medios son fijos. Así que, en el formalismo de impedancias, si los valores de entrada son pico, los resultados también vendrán en pico. Igual para eficaz u otros. Pero no hay que mezclarlos.

Representación gráfica

Ver artículos corriente alterna y Fasor (electrónica).

Se pueden representar las tensiones de los generadores de tensión y las tensiones entre los extremos de los componentes como vectores en un plano complejo. La magnitud (longitud) de los vectores es el módulo de la tensión y el ángulo que hacen con en eje real es igual al ángulo de desfase con respecto al generador de referencia. Este tipo de diagrama también se llama diagrama de Fresnel.

Con un poco de costumbre y un mínimo de conocimientos de geometría, esas representaciones son mucho más explicitas que los valores o las fórmulas. Por supuesto, esos dibujos no son, en nuestra época, un método gráfico de cálculo de circuitos. Son una manera de "ver" como las tensiones se suman. Esos dibujos pueden facilitar la escritura de las fórmulas finales, utilizando las propiedades geométricas. Encontrarán ejemplos de la representación gráfica en los ejemplos de abajo.

Resolución de circuitos en corriente alterna

En definitiva, lo que se hace es, sustituir cada uno de los elementos del circuito por su impedancia compleja (gracias a la Transformada de Laplace, véase la explicación arriba), traducir este nuevo circuito con tensiones e intensidades complejas a través del método de nudos (ley de nudos de Kirchoff Leyes de Kirchoff) o a través del método de mallas (ley de mallas de Kirchoff Leyes de Kirchoff) a un sistema (o ecuación) lineal de n incógnitas con n ecuaciones, resolver el sistema y después interpretar los resultados en números complejos para conocer su significado en el tiempo

Generalización de la ley de Ohm

La tensión entre las extremidades de una impedancia es igual al producto de la corriente por la impedancia:

$V_{z}=ZI_{z}\,$

Tanto la impedancia como la corriente y la tensión son, en general, complejas.

Impedancias en serie o en paralelo

Las impedancias se tratan como las resistencias con la ley de Ohm. La impedancia es igual a su suma:

Serie $Z=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}$

La impedancia de varias impedancias en paralelo es igual al inverso de la suma de los inversos:

Paralelo $Z=\textstyle {1 \over \scriptstyle {{1 \over Z_{1}}+{1 \over Z_{2}}+\cdots +{1 \over Z_{n}}}}$

Interpretación de los resultados

El resultado de un cálculo de una tensión o de una corriente es, generalmente, un número complejo. Ese número complejo se interpreta de manera siguiente:

• El módulo indica el valor de la tensión o de la corriente calculada. Si los valores utilizados para los generadores eran los valores pico, el resultado también será un valor pico. Si los valores eran valores eficaces, el resultado también será un valor eficaz.
• El argumento de ese número complejo da el desfase con respecto al generador utilizado como referencia de fase. Si el argumento es positivo la tensión o la corriente calculadas estarán en avance de fase.

Generadores de tensión o de corriente desfasadas

Si, en un circuito, se encuentran varios generadores de tensión o de corriente, se elije uno de ellos como generador de referencia de fase. Si la verdadera tensión del generador de referencia es $\scriptstyle {V_{\circ }\cos(\omega t)}$, para el cálculo con las impedancias escribiremos su tensión como $\scriptstyle {V_{\circ }}$. Si la tensión de otro generador tiene un avance de fase de $\scriptstyle {\alpha }$ con respecto al generador de referencia y su corriente es $\scriptstyle {I_{1}\cos(\omega t+\alpha )}$, para el cálculo con las impedancias escribiremos su corriente como $\scriptstyle {I_{1}e^{j\alpha }}$. El argumento de las tensiones y corrientes calculadas será desfase de esas tensiones o corrientes con respecto al generador tomado como referencia.

Circuitos con fuentes de frecuencias diferentes

Nos surge el problema de que a la hora de calcular las impedancias de los condensadores o bobinas de nuestro circuito, cada una de las fuentes con diferente frecuencia tienen una diferente pulsación, por tanto para el mismo circuito un condensador podría tener tantas impedancias diferentes como fuentes con diferente frecuencia.

Como se trata de circuitos lineales (Sistema lineal) se aplica el Teorema de superposición, de la siguiente manera: se dibujan tantos circuitos, llamémoslos auxiliares, exactamente iguales al original como frecuencias diferentes tienen las fuentes que excitan el circuito salvo por que en cada uno de los circuitos solo se dejan las fuentes tanto de tensión como de intensidad con la misma frecuencia, el resto de fuentes se sustituyen por un cortocircuito y por un abierto respectivamente. Se resuelve cada uno de estos circuitos y después se suman los efectos de cada tipo de fuente, es decir, si queremos conocer la tensión entre dos puntos calculamos para cada uno de los circuitos auxiliares la tensión que obtendríamos y después la sumamos, en resumen: El circuito suma de todos los circuitos auxiliares es equivalente al circuito original.

Señales no sinusoidales

Si las señales no son sinusoidales, pero son periódicas y continuas, se pueden descomponer las señales en serie de Fourier y utilizar el [[Teorema de

Ejemplos

Un generador único

Una inductancia y una resistencia en serie alimentadas por un generador sinusoidal.

En el diagrama de la derecha tenemos un generador sinusoidal $\scriptstyle {V=10\cos(\omega t)}$ de 10 volts de amplitud y de una frecuencia de 10 kHz. En serie hay una inductancia de 10 mH y una resistencia de 1,2 k$\scriptstyle {\Omega }$.
Calculemos la corriente $\scriptstyle {I}$ que circula en el circuito:

$I=\textstyle {{V \over Z_{L}+Z_{R}}={V \over j\omega L+R}={10 \over j2\pi 10^{4}0,01+1200}}$

$\textstyle {={10 \over 1200+j628,3}}=0{,}00654-j0{,}003424\,\,A$

Es necesaria la aplicación del cálculo con números complejos si se utiliza esta notación.

El módulo de la corriente es:

$I=\left|\textstyle {10 \over 1200+j628,3}\right|=7,38\,mA$

Como el valor de la tensión del generador que tomamos fue un valor pico (amplitud), el valor de la corriente obtenido también es un valor pico. La corriente eficaz es: $\scriptstyle {I_{\mathrm {ef} }={7,38 \over {\sqrt {2}}}}=5,22\,mA$
La fase de la corriente es el argumento del número complejo $\scriptstyle {10 \over 1200+j628,3}$:

$\mathrm {artg} \left(\textstyle {10 \over 1200+j628,3}\right)=-0{,}4823\,\,\mathrm {rad} =-27{,}63^{\circ }$.

La corriente está en retardo de fase con respecto a la fase del generador. Eso es lógico, ya que el circuito es inductivo.

Diagrama de Fresnel (o fasor) de una inductancia y una resistencia en serie. El círculo gris solo sirve de ayuda al dibujo del ángulo recto entre la tensión de la resistencia y la tensión de la inductancia.

Solo la resistencia disipa potencia:

$P_{R}=\textstyle {1 \over 2}R\left|I\right|^{2}=\textstyle {1 \over 2}1200\cdot \left(7{,}38\,10^{-3}\right)^{2}=32{,}7\,\,mW$

La fracción $\scriptstyle {1 \over 2}$ aparece porque el valor de la corriente es el valor pico.

La tensión entre los extremos de la resistencia es $\scriptstyle {V_{R}=I\,R=(0{,}00654-j0{,}003424)\,1200=7{,}84-j4{,}109\,\,V_{\mathrm {pico} }}$

La tensión eficaz que se leería con un voltímetro sería el módulo de esta tensión divido por $\scriptstyle {\sqrt {2}}$: $\scriptstyle {6{,}26\,V_{\mathrm {ef} }}$

La tensión entre las extremidades de la inductancia es
$\scriptstyle {V_{L}=j\omega L\,I\,=j628{,}3\,(0{,}00654-j0{,}003424)=2{,}15+j4{,}109\,V_{\mathrm {ef} }}$

La tensión eficaz leída con con voltímetro sería, igualmente: $\scriptstyle {3,28\,V_{\mathrm {ef} }}$

Constatamos que la suma de las dos tensiones "complejas" da (teniendo en cuenta los redondeos) la tensión del generador. En cambio, la suma de las dos tensiones leídas con un voltímetro es más grande que la del generador ($\scriptstyle {7,07V_{\mathrm {ef} }}$). Ese resultado es típico de las medidas hechas con un voltímetro en circuitos en los cuales las tensiones no están en fase. Un voltímetro nos mide módulos en valor eficaz, los cuales no podemos sumar directamente ya que estamos tratando con fasores con sus distintas orientaciones.

Dos generadores desfasados

Condensador y resistencia en serie entre dos generadores sinusoidales desfasados.

En el circuito de la derecha, un condensador de $\scriptstyle {1\,\mu F}$ y una resistencia de $\scriptstyle {3\,k\Omega }$ en serie, están conectados entre dos generadores sinusoidales. Tomamos como generadores dos fases del suministro trifásico. El generador de izquierda será nuestro generador de referencia $\scriptstyle {V_{1}=230{\sqrt {2}}\cos(314\,t)}$. El generador de derecha está en avance de fase de $\scriptstyle {2\pi /3}$. Es decir, $\scriptstyle {V_{2}=230{\sqrt {2}}\cos(314\,t+{2\pi \over 3})}$. Con el formalismo de impedancias, el generador de izquierda será $\scriptstyle {V_{1}=230\,V_{\mathrm {ef} }}$ y el de derecha $\scriptstyle {V_{2}=230\,e^{j{2\pi \over 3}}\,V_{\mathrm {ef} }}$. Comencemos calculando la diferencia de tensión entre los dos generadores:

$V_{12}=230\,\left(1-e^{j{2\pi \over 3}}\right)=230\,\left(1-\cos \left(\textstyle {2\pi \over 3}\right)-j\sin \left(\textstyle {2\pi \over 3}\right)\right)$

$=230\,(1{,}5-j0{,}866)=345-j199{,}19\,V_{\mathrm {ef} }=398{,}37e^{-j0{,}5236}$

El módulo de esta tensión es $\scriptstyle {398{,}37V_{\mathrm {ef} }}$ y está retardada de 0,5236 radianes (30°) con respecto a la tensión de referencia.

Diagrama de Fresnel correspondiente al segundo ejemplo. El primer círculo sirve de guía a las tensiones de los dos generadores. El segundo para el ángulo recto entre la tensión del condensador y la de la resistencia.

La corriente que circula es:

$I=\textstyle {{V_{12} \over R+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}={398{,}37\,e^{-j0{,}5236} \over {3000-j3185}}={398{,}37\,e^{-j0{,}5236} \over 4375{,}41\,e^{-j0{,}8153}}=0{,}0910\,e^{j0{,}2917}}$

Como los valores de tensión utilizados para los generadores eran valores eficaces, la corriente calculada también viene como valor eficaz: 91 mA en avance de fase 16,71° con respecto a la tensión de referencia.

La tensión entre los extremos de la resistencia es $\scriptstyle {V_{R}=R\,I=3000\cdot 0{,}0910\,e^{j0{,}2917}=273\,e^{j0{,}2917}V_{\mathrm {ef} }}$

La tensión entre los extremos del condensador es:
$\scriptstyle {V_{C}=Z_{C}\,I=-j3185\cdot 0{,}0910\,e^{j0{,}2917}=3185\,e^{-j{\pi \over 2}}0{,}0910\,e^{j0{,}2917}=289{,}83\,e^{-j1{,}2791}V_{\mathrm {ef} }}$.

La tensión entre las extremidades del condensador está en retardo de 73,3° con respecto a la tensión de referencia. Como en el ejemplo precedente, la suma de los módulos de las tensiones (las que se medirían con un voltímetro) de la resistencia y del condensador (563 V) es más grande que la tensión total aplicada (398 V).

La tensión en el punto A del circuito será:

$V_{A}=V_{1}-V_{C}=230-289{,}83\,e^{-j1{,}2791}=230-(83,35-j277{,}6)$

$=146.65+j277{,}6=314\,e^{j1{,}085}\,V_{\mathrm {ef} }$

La tensión del punto A es más grande que la de cada generador.

Véase también

• Electrónica analógica