Axiomas de los números reales

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Hay tres tipos de axiomas:

• Los axiomas algebraicos
• Los axiomas de orden
• El axioma topológico.

El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.

Existe un conjunto que tiene estas propiedades. Nace entonces el primer axioma

Axioma Fundamental

Existe un conjunto que denotaremos por $\mathbb {R}$ que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.

El conjunto que cumple con estas propiedades se llama El conjunto de los Números Reales y serán los axiomas de este conjunto, las bases de lo que es quizás la rama más importante de la matemática: el Cálculo

Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.

Axiomas Algebraicos

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de suma y producto.

1. Axiomas de la suma

Axioma

A1.1 Para todo $x,y\in \mathbb {R}$, existe un único elemento, también en $\mathbb {R}$, denotado por ${\mathit {x+y}}\,\!$ que llamamos la suma de ${\mathit {x}}\,\!$ e ${\mathit {y}}\,\!$.

A1.2 ${\mathit {x+y=y+x}}\,\!$ para todo $x,y\in \mathbb {R}$.

A1.3 ${\mathit {(x+y)+z=x+(y+z)}}\,\!$ para todo $x,y,z\in \mathbb {R}$.

A1.4 Existe un elemento de $\mathbb {R}$, denotado por $\mathrm {0} \,\!$ tal que ${\mathit {x+0=x}}\,\!$ para todo $x\in \mathbb {R}$.

A1.5 Para cada $x\in \mathbb {R}$ existe un $y\in \mathbb {R}$ tal que ${\mathit {x+y=0}}\,\!$.

2. Axiomas del producto

Axioma

A2.1 Para todo $x,y\in \mathbb {R}$, existe un único elemento, también en $\mathbb {R}$, denotado por ${\mathit {xy}}\,\!$ que llamaremos el producto de ${\mathit {x}}\,\!$ e ${\mathit {y}}\,\!$.

A2.2 ${\mathit {xy=yx}}\,\!$ para todo $x,y\in \mathbb {R}$.

A2.3 ${\mathit {(xy)z=x(yz)}}\,\!$ para todo $x,y,z\in \mathbb {R}$.

A2.4 Existe un elemento de $\mathbb {R}$, que denotaremos por $1\,\!$ tal que ${\mathit {1x=x1=x}}\,\!$

A2.5 Para cada $x\in \mathbb {R}$ tal que no sea cero, existe un $y\in \mathbb {R}$ tal que ${\mathit {xy=1}}\,\!$.

Análisis axiomático

• El axioma (1.2)conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es válido sólo para sumas finitas.
• El axioma (1.3) conocido como propiedad asociativa de la suma dice que la asociacion de la suma no altera el valor de ésta.
• El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los números reales que, al ser sumado con cualquier número real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce también como el elemento neutro aditivo de este conjunto.
• El axioma (1.5) dice que dado un número real cualquiera existe otro (único) tal que la suma de ambos es nula. Si este elemento es $x\,\!$, el número tal que la suma de éste y el otro número sea cero es $(-x)\,\!$. Este elemento se llama inverso aditivo de $x\,\!$.
• El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto.
• El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto. Esta propiedad se conoce como propiedad asociativa de la multiplicación.
• El axioma (2.4) dice que existe un número real tal que el producto de éste con otro real, sigue siendo este último. Este elemento denotado por $1\,\!$ se conoce como neutro multiplicativo.
• El axioma (2.5) dice que para cualquier real $x\,\!$ no nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por $x^{-1}=1/x={\frac {1}{x}}\,\!$ se conoce como inverso multiplicativo de $x\,\!$.

Axiomas de Orden

Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.

Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo $<\,\!$ que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo $=\,\!$ que ya conocemos.

Se dirá que $x<y\,\!$ o $y>x\,\!$ sólo si $x\,\!$ es menor que $y\,\!$. O dicho de otra forma, si $y\,\!$ es mayor que $x\,\!$.

De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto $O\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!$ tal que $x<y\,\!$ si y sólo si $(x,y)\in O\,\!$.

Se dan a continuación los Axiomas de Orden

Axioma

O1.1 Si $x,y\in \mathbb {R} \,\!$, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:

$x<y\,\!$; $x=y\,\!$; $x>y\,\!$

O1.2 Si $x<y\,\!$ y además $y<z\,\!$, entonces $x<z\,\!$.

O1.3 Si $x<y\,\!$, entonces $x+z<y+z\,\!$ para todo $z\in \mathbb {R} \,\!$

O1.4 Si $x<y\,\!$ y $z>0\,\!$, entonces $xz<yz\,\!$.

Análisis axiomático

• El axioma (1.2) dice geométricamente que si $x\,\!$ está a la izquierda de $y\,\!$ y éste a su vez a la izquierda de $z\,\!$, entonces debe estar $x\,\!$ a la izquierda de $z\,\!$. Esta interpretación es bastante útil.

Axioma topológico

Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente.

Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.

Análisis axiomático

Hay varios conceptos en esta breve afirmación (pero muy importante), que deben conocerse para entender el significado de este axioma. Éstos, son los de sucesión, creciente, acotado superiormente y convergencia.

Véase también

• Número real
• Principio de buena ordenación
• Teorema
• Cálculo
• Sucesión
• Convergencia
• Acotado