Usuario:Miguel Medina Cantos/Taller

TALLER DE USUARIO

Introducción

El número de Rayo es uno de los mayores números con nombre, acuñado en una batalla de números grandes que enfrentó a Agustín Rayo con Adam Elga el 26 de enero de 2007. El número de Rayo es, en palabras del propio Rayo, "el menor entero positivo mayor que cualquier entero positivo finito nombrado por una expresión en el lenguaje de la teoría de conjuntos de primer orden con símbolos de googol o menos".

Definición

Hay varias definiciones para el número de Rayo.

El número de rayo Rayo ($10^{100}$). Se puede definir como el menor número que sea más grande que cualquier numero que pueda ser nombrado por una expresión en el lenguaje de la teoría de conjuntos de primer orden con menos de un Gúgol ($10^{100}$) de símbolos. También se podría entender que el número de rayo es mayor que los números que se pueden escribir como máximo con $10^{100}$ símbolos matemáticos o menos.

Sean $\phi$ e $\psi$ fórmulas codificadas por Gödel y s e t sean asignaciones de variables. Definamos Sat($\phi$,s) lo siguiente:

$\forall R\{$
$\{$

$\forall \lbrack \psi \rbrack$ , s: R $(\lbrack \psi \rbrack ,t)$

Explicación

Para explicar el número de rayo. Primero debemos demostrar que el número 0 es un numero que se puede calcular dentro del número de rayo. En el sistema ordinal 0 es igual a $\lbrace \rbrace$.

Para obtener el 0 necesitamos obtener el conjunto vacío, en teoría de conjuntos 0 sería el conjunto vacío ($\emptyset$) (Ordinales de Von Neumann). $0=\emptyset =(\neg \exists x_{2}(x_{2}\in x_{1}))$. Está expresión quiere decir: no tenemos elementos, por lo tanto lo que tenemos es el conjunto vacío.

Para obtener el 1 necesitamos que el conjunto tenga un elemento en teoría de conjuntos: $1=\lbrace \emptyset \rbrace =(\exists x_{2}(x_{2}\in x_{1}))\land (\neg \exists x_{2}((x_{2}\in \ x_{1}\land \exists x_{3}(x_{3}\in x_{2}))))$. Con el 1 y el 0 vemos que hay un patrón a seguir, este patrón sería una especie de encadenamiento. Finalmente con este patrón podemos definir cada numero natural usando este método. El cual nos permite escribir el número n en $\mathrm {O} (n^{2})$ símbolos.

Con todo esto definiremos como la función Rayo: La función Rayo (en este caso $Rayo(n)$) como el entero más pequeño no negativo más grande que todos los enteros no negativos que se puedan nombrar con Rayo en al menos $n$ símbolos.

Ejemplos de números obtenidos con el número de rayo:
$0=\emptyset =(\neg \exists x_{2}(x_{2}\in x_{1}))$ (Para calcular el 0 necesitaríamos 10 símbolos).
$1=\lbrace \emptyset \rbrace =(\exists x_{2}(x_{2}\in x_{1}))\land (\neg \exists x_{2}((x_{2}\in \ x_{1}\land \exists x_{3}(x_{3}\in x_{2}))))$ (Para calcular el 1 necesitaríamos 30 símbolos).

Curiosidades

Dejando que el número de símbolos abarque los números naturales, obtenemos una función Rayo $(n)$ que crece muy rápidamente. El número de Rayo es Rayo $(10^{100})$ . La función de Rayo es incalculable, lo que significa que es imposible que una máquina de Turing (y, según la tesis de Church-Turing, cualquier ordenador moderno) calcule Rayo $(n)$.