Usuario:Paloma Moreno Suárez/Taller

Esta persona usuaria de Wikipedia en español participa en el Proyecto educativo Matemática discreta y numérica (MATDIN).

• Fundamentos.
• Teoría de números.
• Combinatoria.
• Ecuaciones en diferencia.

MÉTODO DE LAS SUSTITUCIONES SUCESIVAS O MÉTODO DE ITERACIÓN:

El método de las sustituciones sucesivas se trata de un proceso iterativo mediante el cual, sustituyendo una aproximación inicial de una ecuación n veces, se llegará a una aproximación tan cercana como se desee de la raíz verdadera.

Supongamos la ecuación $f(x)=0$. Partiendo de ella, se puede llegar a un proceso en el que se despeje tal ecuación de la forma $x=g(x)$.

Este proceso iterativo comienza con una estimación inicial de la raíz, $x_{0}$, y no se detendrá hasta que la distancia entre los valores $x_{n}$ y $x_{n}-1$ no superen una tolerancia prefijada(). De esta forma x1 = g(x₀), x₂ = g(x₁), …, x_n = g(x_n-1). X_n será la aproximación más exacta de la solución.

$x_{1}=g(x_{0})$

$x_{2}=g(x_{1})$

${\mbox{ }}\vdots \qquad \quad \vdots$

$x_{n}=g(x_{n}-1)$

Los valores $x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}$ si bien se pueden acercar a la raíz, también pueden alejarse de ella, que diverjan.

Para que la sucesión de los valores se aproxime a la raíz se debe cumplir que $g^{\prime }(x)<1$. En caso contrario, el proceso de sustituciones sucesivas divergirá.

Representación gráfica:

El método de iteración y su convergencia o divergencia en base a la condición anterior se representa gráficamente mediante el diagrama de Cobweb, de convergencia o divergencia de escalones en el cual la solución o raíz, en el caso de que converja, se encuentra donde x y g(x) se intersectan.

Contribución artículo sobre demostraciones visuales: Área de una circunferencia:

La afirmación de que el área de cualquier circunferencia es: ${\begin{array}{llll}A_{c}=\pi \cdot r^{2}\end{array}}$ puede demostrarse gráficamente de la siguiente manera:

Área de un círculo.

Supongamos una circunferencia de radio $r$ y perímetro ${\begin{array}{llll}P_{c}=2\pi \cdot r^{2}\end{array}}$. Dicha circunferencia la dividimos en pequeñas secciones que después reordenaremos para formar una figura similar a un rectángulo. Debemos tener en cuenta que da igual en cuantas secciones dividamos la circunferencia, el área de ambas figuras será el mismo.

De esta forma, podemos deducir que la base del rectángulo se corresponde con la mitad del perímetro de la circunferencia, $P_{r}={\frac {1}{\color {Red}{\cancel {\color {black}2}}}}\cdot {\color {Red}{\cancel {\color {black}2}}}\pi r$ , y la altura con $r$. Como el área de un rectángulo es $A_{r}={\color {YellowOrange}{\mbox{base}}}\cdot {\color {TealBlue}{\mbox{altura}}}$, el área de la circunferencia por analogía es $A_{c}={\color {YellowOrange}\pi \cdot r}\cdot {\color {TealBlue}r}=\pi \cdot r^{2}$.

Sumas infinitas:

Existen varias series geométricas que pueden ser expresados de forma gráfica:

Ejemplo 1: Suma de los inversos de las potencias de dos (razón = 1/2).

Demostración visual de que la suma de los inversos de las potencias de dos converge en 1.

$A=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\qquad A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}\cdots$

Comprobamos que el área de un cuadrado de $base=1$ y $altura=1$ son $1u^{2}$ .

Ejemplo 2: Suma de los inversos de las potencias de 4 (razón = 1/4)

Demostración visual de que la suma de los inversos de las potencias de cuatro converge en 1/3.

$A=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}\qquad A={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4{^{3}}}}+{\frac {1}{4^{4}}}\cdots$

Comprobamos de igual forma que la suma de todas las áreas de todos los cuadrados inscritos en el cuadrado de lado 1 es el área del mismo cuadrado. De esto se deduce que la suma de los cuadrados lilas correspondientes a la suma que nos ocupa es 1/3.

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