Principio del complementario

El principio del complementario es un principio de la combinatoria básico. Sea B un conjunto finito y A un subconjunto de B, se satisface que: |A| = |B| − |B \ A|. A y B\A nunca se pueden dar a la vez. Decimos que B\A es el subconjunto complementario de A porque la unión de ambos subconjuntos da el conjunto original: A ∪ (B\A) = B

Por ejemplo, tenemos un el conjunto de las cifras decimales, llamémoslo B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. De este conjunto, obtenemos el conjunto de los números pares, llamémoslo A = {0, 2, 4, 6, 8}. El cardinal del conjunto B, |B| = 10, ya que son diez las cifras decimales. Sabemos que de esos diez números, cinco son pares, por lo que |A| = 5. Según el principio de complementariedad, el cardinal del conjunto diferencia: |B \ A| = |B| − |A| = 10 - 5 = 5 En este caso, el subconjunto de la diferencia B\A es el subconjunto de los números impares, que son los complementarios al subconjunto de los números pares.

Resulta bastante útil cuando se quiere hallar el cardinal de un subconjunto cuando se tiene justo el de su complementario. A veces compensa más definir un hecho por la negación de su contrario, si es que ambas cosas no se pueden dar nunca a la vez.

Definición

Se llama «principio del complementario» porque, si al subconjunto A del conjunto B se le añade el conjunto diferencia de B\A, se obtiene el conjunto B completo. Según la RAE, un complementario «sirve para completar o perfeccionar algo», describiendo perfectamente este principio.

Estadística

El principio del complementario se emplea en Estadística para calcular sucesos contarios. En este caso, el conjunto B sería la probabilidad total (1) y el subconjunto A sería una probabilidad cualquiera, p (0≤p≤1). Entonces el suceso complementario de p podría designarse q, tal que q = 1 - p.

Algunas aplicaciones

En música, definamos como un conjunto finito los intervalos simples, según su grado: {segunda, tercera, cuarta, quinta, sexta, séptima, octava}, sin tener en cuenta la distancia en tonos y semitonos.

Música y matemáticas

Basic operations

The basic operations that may be performed on a set are transposition and inversion. Sets related by transposition or inversion are said to be transpositionally related or inversionally related, and to belong to the same set class. Since transposition and inversion are isometries of pitch-class space, they preserve the intervallic structure of a set, even if they do not preserve the musical character (i.e. the physical reality) of the elements of the set.[citation needed] This can be considered the central postulate of musical set theory. In practice, set-theoretic musical analysis often consists in the identification of non-obvious transpositional or inversional relationships between sets found in a piece.

Some authors consider the operations of complementation and multiplication as well. The complement of set X is the set consisting of all the pitch classes not contained in X.[12] The product of two pitch classes is the product of their pitch-class numbers modulo 12. Since complementation and multiplication are not isometries of pitch-class space, they do not necessarily preserve the musical character of the objects they transform. Other writers, such as Allen Forte, have emphasized the Z-relation, which obtains between two sets that share the same total interval content, or interval vector—but are not transpositionally or inversionally equivalent.[13] Another name for this relationship, used by Hanson,[14] is "isomeric".[15]

Operations on ordered sequences of pitch classes also include transposition and inversion, as well as retrograde and rotation. Retrograding an ordered sequence reverses the order of its elements. Rotation of an ordered sequence is equivalent to cyclic permutation.

Transposition and inversion can be represented as elementary arithmetic operations. If x is a number representing a pitch class, its transposition by n semitones is written Tn = x + n mod 12. Inversion corresponds to reflection around some fixed point in pitch class space. If x is a pitch class, the inversion with index number n is written In = n - x mod 12

Operaciones básicas

Las operaciones básicas que se pueden realizar en un conjunto son la transposición y la inversión. Los conjuntos que se obtienen por transposición o inversión pertenecen a la misma clase. Debido a que la transposición y la inversión son isometrías del espacio tonal, mantienen la estructura de intervalos de un conjunto, incluso si no mantienen el carácter musical (i.e. la realidad física) de los elementos del conjunto. Esto puede ser considerado el centro alrededor del cual orbita la teoría de conjuntos en la música. En la práctica, el análisis teórico de conjuntos musicales a menudo consiste en la identificación de relaciones de transposición o inversiones no tan obvias entre los conjuntos presentes en una pieza.

Algunos autores consideran las operaciones de complementación y multiplicación también. El complemento del conjunto X es aquel formado por todos los tonos que no están presentes en X. El producto de dos clases tonales es el producto de los números de sus tonos módulo 12. Ya que la complementación y la multiplicación no son isometrías del espacio tonal, no tienen que preservar necesariamente el carácter musical de los objetos que transforman. Otros escritores, como Allen Forte, han enfatizado la relación Z, que contiene dos conjuntos que comparten el mismo contenido tonal, o un vector de intervalos, pero que no son equivalentes por transposición o inversión. Otro nombre para esta relación, usada por Hanson, es "isómero".

Las operaciones en secuencias ordenadas de clases tonales también incluyen transposición e inversión, así como retrogresión y rotación. Retrogradar una secuencia ordenada invierte el orden de sus elementos. La rotación de una secuencia ordenada es equivalente a una permutación cíclica.

La transposición y la inversión se pueden representar como operaciones aritméticas elementales. Si x es un número que representa una clase tonal, su transpuesto por n semitonos es: Tn = x + n mod 12. La inversión corresponde a reflejar alrededor de un punto fijo en alguna espacio tonal. Si x es una clase tonal, la inversión con índice n es: In = n - x mod 12.

Simetría

El número de distintas operaciones en un sistema que transforma un conjunto en sí mismo es el grado de simetría del conjunto. [Rahn 1980, 90]. El grado de simetría, «especifica el número de operaciones que conservan los desordenados conjuntos de clases tonales de una partición; dice la extensión a la cual la clase tonal de esa partición se transforma en otra por transposición o inversión» [Alegant 2001, 5]. Cada conjunto tiene al menos un simétrico, ya que se transforma en sí mismo a través de la operación identidad T0 [ Rahn 1980, 91].

Un conjunto simétrico por transposición se transforma en sí mismo por Tn, donde n no es nulo (mod 12). Un conjunto simétrico inversamente se transforma en sí mismo por TnI. Para cualquier tipo Tn/TnI todos los conjuntos tienen el mismo grado de simetría. El número de distintos conjuntos en un tipo es 24 (el número total de operaciones, transposiciones e inversiones, para n = 0, 1... 11) dividido entre el grado de simetría del tipo Tn/TnI. Un conjunto simétrico por transposición bien divide la octava en partes iguales, o bien se puede escribir como la unión de conjuntos de igual tamaño que dividen a la octava en partes iguales. Los acordes simétricos inversamente son invariantes ante reflejos en espacios de clases tonales. Esto significa que los acordes se pueden ordenar cíclicamente, de tal forma que la serie de intervalos entre notas sucesivas es el mismo leído del derecho que del revés. Por ejemplo, en el orden cíclico (0, 1, 2, 7), el intervalo entre la primera y la segunda nota es de 1, el intervalo entre la segunda y la tercera es de 1, el intervalo entre la tercera y la cuarta es de 5 y el intervalo entre la cuarta y la primera nota es de 5. [ Rahn 1980, 148]

Se obtiene la misma secuencia si se empieza con el tercer elemento de la serie y se va hacia atrás: el intervalo entre el tercer elemento de la serie y el segundo es 1; el intervalo entre el segundo elemento de la serie y el primero es 1; el intervalo entre el primer elemento de la serie y el cuarto es 5; y el intervalo entre el último elemento de la serie y el tercer elemento es 5. La simetría, por tanto, se encuentra entre T0 y T2I, y hay 12 conjuntos en la clase de equivalencia Tn/TnI.

Mi bloc de notas para ideas

Intentar tabla de inversos de los intervalos (3-6, 2-7, 4-5)

Rompecabezas lógico (traducción)

Un rompecabezas lógico es un puzle que deriva del campo matemático del razonamiento deductivo.

Historia

El primer rompecabezas lógico fue creado por Charles Lutwidge Dodgson, mejor conocido por su doble literario, Lewis Carroll: el autor de Alicia en el país de las maravillas. En su libro El juego de la lógica y otros escritos introdujo un juego para resolver problemas, como extraer la conclusión «Algunos galgos no están gordos» de las premisas «Ninguna criatura que esté gorda corre rápido» y «Algunos galgos corren rápido». Rompecabezas como este, donde se da una lista de premisas y se pregunta qué se puede deducir de ellas, son conocidos como silogismos. Dogson creó rompecabezas más complejos con hasta ocho premisas. En la segunda mitad del siglo XX, el matemático Raymond Smullyan continuó y expandió la rama de los rompecabezas lógicos con libros como ¿La Dama o el Tigre?, Alicia en el país de las adivinanzas y To Mock a Mockingbird. Smullyan popularizó los puzles de caballeros y truhanes, en los que hay caballeros que siempre dicen la verdad y truhanes que siempre mienten. También hay rompecabezas lógicos que son no verbales en la naturaleza. Algunos populares son el sudoku, en el que hay que usar la deducción para colocar números en celdas correctamente; el nonograma, que consiste en colorear las celdas correctas de una cuadrícula (también llamado «pintar por números»); y laberintos lógicos, que requiere usar deducción para encontrar las reglas especiales de un laberinto concreto.

Acertijos lógicos

Otra forma de rompecabezas lógico, popular entre entusiastas de los puzles y disponibles en revistas dedicadas a este tema, es un formato en el que se prepara un escenario y un objetivo (por ejemplo, determinar quién llevó a qué perro a un concurso y de qué raza era cada perro) y se da una serie de pistas («ni Rex ni Laika es el pastor alemán») para que el lector rellene una matriz con ellas e intente deducir la solución. Estos son llamados acertijos lógicos. El ejemplo más famoso puede ser el llamado acertijo de la cebra, que, dadas varias personas con diferentes gustos y mascotas, pide hallar de quién es la cebra. En este tipo de rompecabezas se dan varias categorías. En los acertijos lógicos de revista, son comunes los derivados de este tipo de rompecabezas, los "puzles de tabla" (???), que se deducen como los anteriores, pero no tienen la cuadrícula porque sería demasiado larga, o porque se ofrece otro tipo de ayuda visual. Por ejemplo, un mapa de una ciudad puede darse en un puzle en vez de la localización de las diferentes tiendas.

Véase también