Anexo:Pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos

A continuación se exponen algunas consideraciones sobre cuadrados latinos y cuasigrupos de orden bajo. El orden puede ser la dimensión del lado del cuadrado, en los cuadrados latinos o el número de elementos del cuasigrupo.

Orden 1

De orden 1 hay un cuadrado latino cuya notación es a y el cuasigrupo posee como conjunto subyacente {a}; Es un grupo trivial.

Orden 2

De orden 2 existen dos cuadrados latinos con la notación de: a y b

  ab   ba
  ba   ab

Solo difieren en las permutaciones de los elementos a y b, así como su designación. Son una misma clase isotópica.

Cada uno puede ser representado mediante una tabla de Cayley multiplicativa cuya cabecera de fila o columna puede ser "ab" o "ba" y con las permutaciones permitidas. Resultados equivalentes a los grupos Z₂ con a=e y con b=e.

Orden 3

Hay 12 cuadrados latinos de orden 3 con la notación de: a, b y c; que puede simplificarse a dos tipos al colocar la permutación abc en la fila superior.

  abc   abc
  bca   cab
  cab   bca

diferenciándose por el orden de las filas, en consecuencia, es una sola clase de isotopía.

Cada uno de los 12 cuadrados puede ser representado mediante una tabla de Cayley multiplicativa cuya cabecera de fila o columna sea encabezada con abc; las otras ordenaciones de las filas y columnas de los encabezamientos dan otras notaciones del mismo cuasigrupo. Se distinguen tres grupos: el grupo de Z₃ con un a = e, b = e y c = e. Reasignado las letras a los otros dos elementos (los que no son el neutro) nos genera automorfismos que son grupos.

Orden 4

Hay 576 cuadrados latinos de orden 4 con la notación de: a, b, c y d; reduciéndose a 24, si colocamos la permutación abcd siempre en la fila superior, que restringiendo a una posición fija en la primera columna genera solamente 4 cuadrados latinos. El primer cuadrado es de una clase isotópica y los restantes tres, de otra clase.

 abcd  abcd  abcd  abcd
 badc  badc  bcda  bdac
 cdab  cdba  cdab  cadb
 dcba  dcab  dabc  dcba

De los 576 cuadrados que puede ser representado mediante una tabla de Cayley multiplicativa: 144 son de la primera clase isotópica y 432 son de la segunda.

De los 576 cuadrados latinos, 288 son soluciones de Sudoku (Shi Doku) de dimensión 2. Restringiendo a la posición fija de la fila 1 y columna 1 la permutación abcd, queda reducido a 2 tipos. [1]. Que con abcd en la

Orden 5

Hay 161.280 cuadrados latinos de orden 5 con la notación de: a, b, c, d y e. De los que hay 56 cuadrados latinos reducidos, y su quíntuple componen el número total de bucles (cuasigrupo con elemento neutro). De entre ellos, 30 son grupos que componen todas las versiones del grupo cíclico de orden 5, y se diferencian entre sí por la diferente designación del elemento neutro de entre los cinco elementos existentes, así como por la elección del cuadrado y el cubo de un elemento dado, exceptuando al neutro. El número 30 se origina por el orden del grupo automórfico cuyo valor se calcula dividiendo 5! (5x4x3x2) por 4, simplificándose al producto 5x3x2 = 30, deducible de la fórmula del número de permutaciones circulares posibles P₅ , siendo 5 el orden y 4 el orden n-1 ésimo al deducir los monoides existentes.

Un ejemplo de cuadrado latino reducido es:

${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&5&3\\3&5&4&2&1\\4&1&5&3&2\\5&3&2&1&4\end{bmatrix}}.$

Véase también

Anexo:Grupos finitos de orden bajo