Ecuación hipsométrica

La ecuación hipsométrica o ecuación altimétrica es una ecuación utilizada en meteorología y oceanografía que relaciona un cociente entre presiones atmosféricas con el grosor equivalente de una capa atmosférica asumiendo temperatura y gravedad constantes. Se deriva de la ecuación hidrostática y de la ley de los gases ideales.

Ecuación

La ecuación hipsométrica se expresa como:​​

$h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\ {\bar {T}}}{g}}\ \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
$h$	Grosor de la capa atmosférica		m
$z$	Altitud		m
$g$	Aceleración gravitacional estándar		m / s2
$R$	Constante de los gases específica para el aire seco	287.06	J / (kg K)
${\bar {T}}$	Temperatura media de la capa		K
$p$	Presión		Pa

En meteorología, $p_{1}$ y $p_{2}$ son superficies isobáricas. En altimetría, con la Atmósfera Estándar Internacional, la ecuación hipsométrica se emplea para computar la presión a una altitud dada en capas isotérmicas en la estratosfera superior e inferior.

Derivación de la ecuación

La ecuación hidrostática:

$p=\rho \cdot g\cdot z$

donde $\rho$ es la densidad [kg/m³], se usa para generar la ecuación del equilibrio hidrostático, expresada en forma diferencial:

$dp=-\rho \cdot g\cdot dz$

Esto se combina con la ley de los gases ideales:

$p=\rho \cdot R\cdot T$

Recordar que en todo el desarrollo que sigue, $R$ no es la Constante de los gases ideales sino la constante específica para el aire seco, es decir, aquí $R$ es la constante de los gases dividida por la masa molar del aire seco.

Para eliminar $\rho$:

${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$

Esta expresión se integra entre $z_{1}$ y $z_{2}$:

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$

R y g son constantes respecto de z, por lo que se pueden sacar fuera de la integral. Si la variación de la temperatura es lineal respecto de z (como se supone en la Atmósfera Estándar Internacional), también se puede sacar de la integral reemplazándola por ${\bar {T}}$, la temperatura media entre $z_{1}$ y $z_{2}$.

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z$

Al integrar, se obtiene:

$\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$

que se simplifica a:

$\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$

Reordenando los términos, queda:

$z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$

o, alternativamente, eliminando el logaritmo neperiano (ln):

${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}$

Enlaces externos

• Datos: Q1786344