Notación científica

La notación científica (o notación índice estándar) es un modo conciso de representar un número utilizando potencias de base diez. Los números se escriben como un producto: a·10ⁿ, (siendo a un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y n un número entero). Esta notación se utiliza para poder expresar facilmente números muy grandes o muy pequeños.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

Historia

El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendida por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 10⁶³ granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).

A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

Escritura

• 10⁰ = 1
• 10¹ = 10
• 10² = 100
• 10³ = 1 000
• 10⁴ = 10 000
• 10⁵ = 100 000
• 10⁶ = 1 000 000
• 10⁹ = 1 000 000 000
• 10¹⁰ = 10 000 000 000
• 10²⁰ = 100 000 000 000 000 000 000
• 10³⁰ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10ⁿ o, equivalentemente 0, (n–1 ceros) 1:

• 10^–1 = 1/10 = 0,1
• 10^–3 = 1/1000 = 0,001
• 10^–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234·10²⁹,

y un número pequeño como 0,000 000 000 023 4 puede ser escrito como 2,34·10^–11.

Usos

Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es 4,6·10²⁶m y la masa de un protón es 1,67·10^-27 kilogramos. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; los números 10 generalmente se omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo: 1,56234 E29. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e.

La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida sin malgastar espacio.

Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por el exponente de 10 respectivo. Ej 238294360000 = 2,3829436E11 y 0,000312459 = 3,12459E-4.

Operaciones matemáticas con notación científica

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente):

Ejemplo: 1 · 10⁴ + 3 ·10⁴ = 4 · 10⁴

        : 2 · 104 + 3 ·105 = 3.2 · 105
        : 0.2 · 105 + 3 ·105 = 3.2 · 105

Para sumar y restar dos números (o más) debemos tener el mismo exponente en las potencias de base diez. Tomamos como factor común el mayor y movemos la coma flotante, en los menores, tantos espacios como sea necesario, elevando los correspondientes exponentes hasta que todos sean iguales. Ejemplo:

2 · 10⁴ + 3 ·10⁵ - 6 ·10³ (tomamos el exponente 5 como referencia)

0,2 · 10⁵ + 3 · 10⁵ - 0,06 ·10⁵

3,14 ·10⁵

entonces la notacion cientifica es una manera de recoger todos los 0 en una base 0

Multiplicación

Se multiplican los coeficientes y se suman a la vez los exponentes:

Ejemplo: (4·10⁵)·(2·10⁷) = 8·10¹²

División

Se dividen las mantisas y se restan los exponentes (numerador_denominador):

Ejemplo: (4·10¹²)/(2·10⁵) =2·10⁷

Además se pueden pasar los dos números al mismo exponente y luego nada más multiplicar.

Potenciación

Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes:

Ejemplo: (3·10⁶)² = 9·10¹²

Radicación

Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz:

Ejemplos:

${\sqrt {9\cdot 10^{26}}}=3\cdot 10^{13}$

${\sqrt[{3}]{27\cdot 10^{12}}}=3\cdot 10^{4}$

${\sqrt[{4}]{256\cdot 10^{64}}}=4\cdot 10^{16}$

Discrepancia de nomenclatura

A pesar que la notación científica pretende establecer pautas firmes sobre la referencia numérica en materia científica, se presentan discrepancias de lenguaje.

Por ejemplo en EE.UU. 10⁹ se denomina «billion». Para los países de habla hispana 10⁹ es mil millones o millardo (del francés millard) y el billón se representa 10¹². Llegamos a un caso práctico donde para los estadounidenses one billion dollars, para los hispanohablantes será un millardo de dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).

Otra particularidad del mundo hispano es que a 10⁴ (10 000), se le denomina miríada. No obstante para 10 000 se usa diez mil como uso frecuente y miríada cuando se quiere hacer notar el diez mil como "muchísimo" respecto a una comparación con algo cuantificable que elevó su cuenta significativamente, sin que este uso tenga fundamento científico sino de costumbres.

Véase también

• Orden de magnitud

Enlaces externos

• Notación científica, en Descartes.cnice