Momento de inercia

Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae.

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Ecuaciones del momento de inercia

¿Cuál de estos giros resulta más difícil?
El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

$I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ mr^{2}\,\!$

donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

$I=\sum m_{i}r_{i}^{2}\,$

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

$I=\int _{V}r^{2}dm=\int _{V}\rho r^{2}\,dV$

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: $\scriptstyle {a=F/m}$ tiene como equivalente para la rotación:

$\tau =I\alpha \,$

donde:

• $\scriptstyle {\tau }$ es el momento aplicado al cuerpo.
• $\scriptstyle {I}$ es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
• $\textstyle {\alpha ={d^{2}\theta \over dt^{2}}}$ es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es $\scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}$, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es $\scriptstyle {{1 \over 2}I\omega ^{2}}$, donde $I$ es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular $\scriptstyle {\vec {L}}$:

${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$. Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

$I_{eje}=I_{eje}^{(CM)}+Mh^{2}\,$

donde: I_eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I^(CM)_eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C ${\bar {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} _{C}+\mathbf {h}$ inmediata:

$I_{eje}=\int _{V}{\bar {\mathbf {r} }}\cdot {\bar {\mathbf {r} }}\quad dm=\int _{V}(\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}+2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} +\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} )\quad dm=\int _{V}\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}\quad dm+\int _{V}2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} \quad dm+\int _{V}\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} \quad dm$

$I_{eje}=I_{eje}^{(CM)}+\underbrace {2\mathbf {h} \cdot \int _{V}\mathbf {r} _{C}dm} _{=0}+Mh^{2}$

donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$.
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes $(x_{i},y_{i})\,$ con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm $(x_{G},y_{G})\,$ de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: $I_{i,x}$ e $I_{i,y}$, para el área i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: ${\bar {I}}_{i,x}=I_{i,x}+A_{i}(y_{i}-y_{G})^{2}$ y ${\bar {I}}_{i,y}=I_{i,y}+A_{i}(x_{i}-x_{G})^{2}$
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores: $I_{x,tot}=\sum _{i}{\bar {I}}_{i,x}$ e $I_{y,tot}=\sum _{i}{\bar {I}}_{i,y}$

Tensor de inercia de un sólido rígido

El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

$I_{ij}=I_{ji}=\int _{M}\left[\delta _{ij}\left(\sum _{i}x_{i}^{2}\right)-x_{i}x_{j}\right]\ dm=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\left[\delta _{ij}\left(\sum _{i=1}^{3}x_{i}^{2}\right)-x_{i}x_{j}\right]\quad dx_{1}dx_{2}dx_{3}$

Donde:

$(x_{1},x_{2},x_{3})[=(x,y,z)]$ son las coordenadas para nombrar a los puntos del cuerpo.

$\delta _{ij}\;$, es la llamada delta de Kronecker definida como: $\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}$

A los elementos $I_{ii},\,i=1,2,3$ se los llama momento de inercia respecto del eje i y tienen las mismas propiedades que los momentos de inercia considerados anteriormente. Si usamos un sistema de coordenadas cartesiano XYZ y calculamos en ellos el tensor, sus componentes vienen dadas por los tres momentos de inercia siguientes:

$I_{xx}=\int _{M}d_{x}^{2}dm=\int _{V}\rho (y^{2}+z^{2})dxdydz$

$I_{yy}=\int _{M}d_{y}^{2}dm=\int _{V}\rho (z^{2}+x^{2})dxdydz$

$I_{zz}=\int _{M}d_{z}^{2}dm=\int _{V}\rho (x^{2}+y^{2})dxdydz$

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

$I_{xy}=I_{yx}=\int _{M}-xy\ dm=\int _{V}-\rho xy\ dxdydz$

$I_{yz}=I_{zy}=\int _{M}-yz\ dm=\int _{V}-\rho yz\ dxdydz$

$I_{zx}=I_{xz}=\int _{M}-zx\ dm=\int _{V}-\rho zx\ dxdydz$

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

$I_{ij}=I_{ji}=\int _{V}-\rho \left[\left(\sum _{i}x_{i}^{2}\right)-x_{i}x_{j}\right]\ dxdydz$

Donde $i,j\in {1,2,3}$ y donde $(x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z)\;$.

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

$I_{eje}=\mathbf {t} \cdot (\mathbf {I} \mathbf {t} )=\left({\begin{matrix}t_{x}&t_{y}&t_{z}\\\end{matrix}}\right)^{T}\left({\begin{matrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}t_{x}\\t_{y}\\t_{z}\\\end{matrix}}\right)=\sum _{j}\sum _{k}I_{jk}t_{j}t_{k}$

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (t_x, t_y, t_z) es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

Véase también

• Primer momento de área
• Círculo de Mohr
• Eje principal de inercia