Función gamma inversa

En matemática, la función gamma inversa es la función

f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},

donde $\Gamma (z)$ denota la función gamma. Puesto que la función gamma es meromorfa y distinta de cero en cualquier lugar del plano complejo, su inversa es una función entera. La inversa es usada a veces como punto de inicio para cálculos numéricos de la función gamma, y unas pocas librerías proporcionan separadamente ésta de la función gamma normal.

Karl Weierstrass llamó a la función gamma inversa el "factorielle" y la usó en su desarrollo del teorema de factorización de Weierstrass.

Representación en forma de serie de Taylor

La expansión en forma de serie de Taylor en torno a 0 viene dada por

{\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. Para k > 2, el coeficiente a_k para el término z^k puede ser calculado recursivamente como

a_{k}=ka_{1}a_{k}-a_{2}a_{k-1}+\sum _{j=2}^{k-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{k-j}

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann.

Representación en forma de integral de contorno

Una representación integral dada por Hermann Hankel es

{\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{C}(-t)^{-z}e^{-t}dt,

donde C es el camino que rodea 0 en la dirección positiva, comenzando y volviendo al infinito positivo con respecto del corte de rama a lo largo del eje real positivo. De acuerdo con Schmelzer y Trefethen, la evaluación numérica de la integral de Hankel es la base de algunos de los mejores algoritmos para calcular la función gamma.