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Lema de Jordan

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En análisis complejo, el lema de Jordan es un resultado frecuentemente utilizado conjuntamente con el teorema de los residuos para evaluar integrales de contorno e integrales impropias. Debe su nombre al matemático francés Camille Jordan.

Enunciado

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Sea f una función continua evaluada en el cuerpo de los complejos, definida en un contorno semicircular

De radio positivo R sobre el semiplano superior, centrado en el origen. Si la función f es de la forma

con un parámetro positivo a, entonces el lema de Jordan establece la siguiente cota superior para la integral de contorno:

El mismo resultado es aplicable al semiplano inferior (y no al semiplano superior) cuando a < 0

Observaciones

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  • Si f es continuo en el contorno semicircular CR para todo R grande

 

 

 

 

(*)

entonces por el lema de Jordan

  • Para el caso a = 0 = 0, véase el lema de valoración.
  • Comparado al lema de valoración, el límite superior en el lema de Jordan no depende explícitamente de la longitud del contorno de CR.

Aplicación del lema de Jordan

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El camino C es la concatenación de los caminos C1 y C2

El lema de Jordan nos ofrece una forma sencilla de calcular la integral a lo largo del eje real de funciones del tipo f(z) = ei a z g(z) que sean holomorfas en el semiplano superior y continuas en el cierre del semiplano superior excepto en un número fínito de singularidades fuera del eje real z1, z2, …, zn. Consideramos el contorno cerrado C el cual es la concatenación de los caminos C1 y C2, como se muestra en la imagen. Por definición:

Dado que en C2 la variable z es real, la segunda integral es real:

El lado izquierdo puede ser calculado usando el teorema de los residuos para obtener, para todo R mayor que el máximo de |z1|, |z2|, …, |zn|,

Dónde Res(f, zk) denota el residuo de f en la singularidad zk. De ahí, si f satisface la condición , entonces tomando el límite donde R tiende a infinito, la integral de contorno sobre C1 se anula por el lema de Jordan, y obtenemos el valor de la integral impropia

Ejemplo

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La función

Satisface la condición del lema de Jordan con a = 1 = 1 para todo R > 0 con R ≠ 1. Véase que, para R > 1,

Por ello la condición se cumple. Dado que la única singularidad de f en el semiplano superior está en z = i, obtenemos que la integral impropia sobre todo el eje real cumple que:

Dado que z = i es un polo simple de f y 1 + z2 = (z + i)(zi) obtenemos que

y por lo tanto:

Este resultado ejemplifica la forma en la que algunas integrales complicadas de computar por otros métodos son fácilmente evaluadas con la ayuda del análisis complejo.

Prueba del lema de Jordan

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Por la definición de la integral de línea compleja,

Véase que la desigualdad

nos lleva a que

Usando y la simetría sin θ = sin(πθ) obtenemos que

Dado que la gráfica de sin θ es cóncava en el intervalo θ ∈ [0, π ⁄ 2], la gráfica de sin θ se encuentra por encima de la línea que conecta sus puntos inicial y final, por lo tanto:

para todo θ ∈ [0, π ⁄ 2], lo que implica que

Referencias

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