Matriz transpuesta

La traspuesta A^T de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (A^T)^T = A.

Sea $A$ una matriz con $m$ filas y $n$ columnas. La matriz traspuesta, denotada con $A^{t}$.​​

Está dada por:

$(A^{t})_{ij}=A_{ji},\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m$​

En donde el elemento $a_{ji}$ de la matriz original $A$ se convertirá en el elemento $a_{ij}$ de la matriz traspuesta $A^{t}$.

Ejemplos

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}a&c&e\\b&d&f\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

${\begin{bmatrix}0&0&4\\1&0&4\\0&1&0\\0&3&2\\0&2&3\\0&3&4\\3&3&1\end{bmatrix}}^{t}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&0&3\\0&0&1&3&2&3&3\\4&4&0&2&3&4&1\end{bmatrix}}$

Propiedades

Involutiva

• Para toda matriz $A$,

$(A^{t})^{t}=A\,$

Demostración

Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean aij dichos elementos, denotando por A = (aij)ij a la matriz, se tiene $(A^{t})^{t}=\left(\left(a_{ij}\right)_{ij}^{t}\right)^{t}=\left(\left(a_{ji}\right)_{ij}\right)^{t}=\left(a_{ij}\right)_{ij}=A$ ∎

Distributiva

• Sean A y B matrices con elementos en un anillo ${\mathcal {A}}$ y sea $c\in {\mathcal {A}}$:

$(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\,$

Demostración

Denotando por A = (aij)ij, B = (bij)ij y A+B = (cij)ij, donde cij = aij+bij, se tiene $(A+B)^{t}=\left(c_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(c_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}+b_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}\right)_{ij}+\left(b_{ji}\right)_{ij}=A^{t}+B^{t}$ ∎

Lineal

$(c\,A)^{t}=c\,A^{t}$

Demostración

Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa $cA=c\left(a_{ij}\right)_{ij}=\left(ca_{ij}\right)_{ij}$ sea dij = c aij, con esta notación se tiene c A = (dij)ij, por trasposición queda $(cA)^{t}=\left(d_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(d_{ji}\right)_{ij}=\left(ca_{ji}\right)_{ij}=cA^{t}$∎

• Para el producto usual de las matrices $A$ y $B$,

$(AB)^{t}=B^{t}A^{t}\,$

Demostración

Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = (cij)ij entonces por definición $c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}$ por trasposición queda $c_{ji}=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}b_{ki}=\sum _{k=1}^{r}b_{ki}a_{jk}$ que coincide con la definición de producto para Bt At∎

• Si $A$ es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

$A^{t}A\,$

es semidefinida positiva.

Demostración

Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con $\scriptstyle \|\cdot \|$ denotando la norma euclídea. $x^{t}A^{t}Ax=(Ax)^{t}Ax=\|Ax\|^{2}$ de las propiedades de la norma se deduce xt At A x ≥ 0 para todo x, luego At A es semidefinida positiva. ∎

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada $A$ es simétrica si coincide con su traspuesta:

$A^{t}=A\,$

Una matriz cuadrada $A$ es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

$A^{t}=-A\,$

Si los elementos de la matriz $A$ son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

$A^{t}={\bar {A}},\quad A=({\bar {A}})^{t}=A^{\dagger }$

y antihermítica si

$A^{t}=-{\bar {A}}$

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también

• La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
• Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices.
• Trasposición de un operador lineal

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Transposed_matrix&oldid=15848», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

• Datos: Q223683